例1:(1) 已知椭圆的对称轴是坐标轴,O为坐标原点.F是一个焦点.A是一个顶点.若椭圆的长轴长是6.且cos∠OFA=2/3.则椭圆方程为 . (2) 设椭圆 ——青夏教育精英家教网—

例1:(1) 已知椭圆的对称轴是坐标轴,O为坐标原点.F是一个焦点.A是一个顶点.若椭圆的长轴长是6.且cos∠OFA=2/3.则椭圆方程为 . (2) 设椭圆上的点P到右准线的距离为10.那么点P到左焦点的距离等于 . (3) 已知F1为椭圆的左焦点.A.B分别为椭圆的右顶点与上顶点.P为椭圆上的点.当PF1⊥F1A.PO∥AB时.椭圆的离心率e= .. (4)已知椭圆上的点P到左焦点的距离等于到右焦点的距离的两倍.则P的坐标是 . 解:(1) ∵椭圆的长轴长是6.且cos∠OFA=2/3.∴点A不是长轴的端点.∴|OF|=c.|AF|=a=3.∴c=2.b2=5.∴椭圆方程是 .或 . (2)由椭圆的第二定义得:点P到左焦点的距离等于12. (3) 设椭圆方程为 , , F1.则点 .由PO∥AB得kAB=kOP即 .∴b=c.故 . ,F1,F2分别为椭圆的左右焦点.由已知椭圆的准线方程为 . 故 .∵|PF1|=2|PF2|.∴ .故 . [思维点拨]1)求离心率一般是先得到a.b.c的一个关系式.然后再求e, 2)由椭圆的一个短轴端点,一个焦点,中心O为顶点组成的直角三角形在求解椭圆问题中经常用到,(3)结合椭圆的第二定义,熟练运用焦半径公式是解决第(3)小题的关键. 例2:如图.设E: 的焦点为与 .且 .求证: 的面积 .(图见教材P119页例2的图) 证明:设 .则 . 由余弦定理有＝这样即有 [思维点拨:解与有关的问题.常用正弦定理或余弦定理.并结合来解决. 例3:若中心在原点.对称轴为坐标轴的椭圆与直线x+y=1交于A.B两点.M为AB的中点.直线OM的斜率为 .且OA⊥OB.求椭圆的方程. 解:设椭圆方程为ax2+by2=1.A(x1,y1),B(x2,y2),M( ). 由消去y得 . ∴ =1- , ∴ ,∴由得 --①; 又OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,即 x1x2+(1-x1)(1-x2)=0,2x1x2-(x1+x2)+1=0,∴ , ∴a+b=2--②. 联立①②得 ∴方程为 . [思维点拨]“OA⊥OB x1x2+y1y2=0 (其中A(x1,y1),B(x2,y2))是我们经常用到的一个结论. 例4:已知椭圆的焦点是F1,F2(1.0),P为椭圆上的一点,且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项.若点P在第三象限.且∠P F1F2=1200.求tan∠F1PF2. 解:(1)由题设2|F1F2|=|PF1|+|PF2|.c=1.∴2a=4.∴b= .∴椭圆方程为 . (2)设∠F1PF2=θ,则∠PF2 F1=600-θ,由正弦定理并结合等比定理可得到 , ∴化简可得 ,∴ , 从而可求得tan∠F1PF2= . [思维点拨]解与△P F1F2有关的问题常用正弦定理或余弦定理.并且结合|PF1|+|PF2|=2a来求解. 例5:已知点P的坐标是.F是椭圆的右焦点,点Q在椭圆上移动.当取最小值时.求点Q的坐标.并求出其最小值. (2)设椭圆的中心是坐标原点.长轴在x轴上.离心率为 .已知点P 这个椭圆上的点的最远距离是 .求这个椭圆的方程.并求椭圆上到点P的距离是的点的坐标. 解(1)由椭圆方程可知a=4,b= ,则c=2, , 椭圆的右准线方程为x=8 过点Q作QQ’ 于点Q’, 过点P作PP’ 于点P’,则据椭圆的第二定义知, , 易知当P.Q.Q’在同一条线上时.即当Q’与P’点重合时. 才能取得最小值.最小值为8-(-1)=9.此时点Q的纵坐标为-3.代入椭圆方程得 . 因此,当Q点运动到处时, 取最小值9. (2)设所求的椭圆的直角坐标方程是由 ,解得 ,设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d 则其中 ,如果 , 则当y=-b时,d2取得最大值解得b= 与矛盾, 故必有当时d2取得最大值. 解得b=1,a=2 所求椭圆方程为由可得椭圆上到点P的距离等于的点为 , 【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）经过点（0，1），离心率e=

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线x=my+1与椭圆C交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为A′．
①求△AOB的面积的最大值（O为坐标原点）；
②“当m变化时，直线A′B与x轴交于一个定点”．你认为此推断是否正确？若正确，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不正确，请说明理由．

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