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    例1 . 已知两个定圆O1和O2.它们的半径分别为1和2.且|O1O2|=4.动圆M与圆O1内切.又与圆O2外切.建立适当的坐标系.求动圆心M的轨迹方程.并说明轨迹是何种曲线. 解:以O1O2的中点O为原点.O1O2所在直线为轴建立平面直角坐标系.由|O1O2|=4有O1.O2(2.0).设动圆的半径为r.由动圆M与圆O1内切有|MO1|=|r-1|. 由动圆M与圆O2内切有|MO2|=r+2.∴|MO1|+|MO2|=3或|MO1|-|MO2|=-3,∵|O1O2|=4∴|MO1|-|MO2|= -3∴M的轨迹是以O1.O2为焦点.长轴为3的双曲线的左支.所以M的轨迹方程为 [思维点拔]利用圆锥曲线定义求轨迹是一种常用的方法 变式练习:F1.F2是椭圆 的两焦点.P是椭圆上任一点, 从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线.垂足为Q的轨迹为( ) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 延长垂线F1Q交F2P的延长线于点A 等腰三角形APF1中. 选A 例2:已知双曲线 .P为双曲线上任一点.∠F1PF2=θ, 求ΔF1PF2的面积． 解:在ΔF1PF2中.由三角形面积公式和余弦定理得SΔF1PF2＝ |PF1|·|PF2|sinθ ①(2c)2＝|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cosθ ②由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a, 即|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4a2 ③ 由②③得|PF1|·|PF2|= ④ 将④①代入得SΔF1PF2＝b2 =b2cot ,所以双曲线的焦点三角形的面积为b2cot ． [思维点拔]焦点三角形中.通常用定义和正余弦定理 例3:已知A为一定点.F为双曲线 的右焦点.M在双曲线右支上移动.当|AM|+ |MF|最小时.求M点的坐标． 解:∵过M作MP准线于点P.则 |MF|＝|MP|.∴|AM|+ |MF|＝|AM|+|MP|≤|AP|．当且公当A.M.P三点共线时.|AM|+ |MF|最小.此时M. [思维点拔]距离和差最值问题.常利用三角形两边之和差与第三边之间的关系. 数量关系用定义来进行转换 变式:设P(x,y)是椭圆 上一点.F1.F2为椭圆的两焦点.求|PF1|·|PF2|的最大值和最小值. 解:由椭圆第二定义知|PF1|＝a+ex,|PF2|＝a-ex, 则|PF1|·|PF2|=a2-e2x2,而0≤x2≤a2,所以|PF1|·|PF2|的最大值为a2.最小值为b2. 例4．过抛物线y2＝2px的焦点F任作一条直线m.交这抛物线于P1.P2两点.求证:以P1P2为直径的圆和这抛物线的准线相切． 分析:运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷． 证明:如图2-17．设P1P2的中点为P0.过P1.P0.P2分别向准线l引垂线P1Q1.P0Q0.P2Q2.垂足为Q1.Q0.Q2.则 |P1F|＝|P1Q1|.|P2F|＝|P2Q2| ∴|P1P2|＝|P1F|+|P2F| ＝|P1Q1|+|P2Q2|＝2|P0Q0| 所以P0Q0是以P1P2为直径的圆P0的半径.且P0Q0⊥l.因而圆P0和准线l相切． [思维点拔]以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切．类似有:以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离,以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．以上结论均可用第二定义证明之． 变式:求证:以双曲线的任意焦半径为直径的圆.与以实轴为直径的圆相切． 取F1P的中点为O1.连结O1O.只须证明:以F1P为直径的圆与实轴A1A2为直径的圆内切． 在△PF1F2中.O1O为△PF1F2的中位线 故以双曲线的任意焦半径为直径的圆.与以实轴为直径的圆内切． 例5.求过定点(1,2).以x轴为准线.离心率为0.5的椭圆的下顶点的轨迹方程. 解:设下顶点为A(x,y).由题意知x轴为椭圆的下准线.设下焦点为F 则 .由椭圆定义 将 代入即可得椭圆方程为: 【查看更多】

     

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