练习册

  • 练习册
  • 试题
    有下列几个命题: ①函数y=2x2+x+1在上不是增函数,②函数y=在上是减函数,③函数y=的单调区间是［-2.+∞),④已知f(x)在R上是增函数.若a+b＞0.则有f(a)+f(b)＞f(-a)+f(-b).其中正确命题的序号是 . 解析:①函数y=2x2+x+1在上是增函数.∴①错,②虽然都是y=的单调减区间.但求并集以后就不再符合减函数定义.∴②错,③要研究函数y=的单调区间.首先被开方数5+4x-x2≥0.解得-1≤x≤5.由于［-2.+∞)不是上述区间的子区间.∴③错,④∵f(x)在R上是增函数.且a＞-b.∴b＞-a.f(a)＞f(-b).f(b)＞f(-a).f(a)+f(b)＞f(-a)+f(-b).因此④是正确的. 答案:④ ●典例剖析 [例1] 如果二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间(.1)上是增函数.求f(2)的取值范围. 剖析:由于f(2)=22-(a-1)×2+5=-2a+11.求f(2)的取值范围就是求一次函数y=-2a+11的值域.当然就应先求其定义域. 解:二次函数f(x)在区间(.1)上是增函数.由于其图象开口向上.故其对称轴x=或与直线x=重合或位于直线x=的左侧.于是≤.解之得a≤2.故f(2)≥-2×2+11=7.即f(2)≥7. [例2] 讨论函数f(x)=(a＞0)在x∈上的单调性. 解:设-1＜x1＜x2＜1. 则f(x1)-f(x2)=- ==. ∵-1＜x1＜x2＜1.∴x2-x1＞0.x1x2+1＞0.(x12-1)(x22-1)＞0.又a＞0.∴f(x1)-f(x2)＞0.函数f(x)在上为减函数. [例3] 求函数y=x+的单调区间. 剖析:求函数的单调区间.一般有三种方法: 定义法,(3)利用已知函数的单调性.但本题图象不易作.利用y=x与y=的单调性也难以确定.故只有用单调性定义来确定.即判断f(x2)- f(x1)的正负. 解:首先确定定义域:{x|x≠0}.∴在两个区间上分别讨论.任取x1.x2∈且x1＜x2.则f(x2)-f(x1)=x2+-x1-=(x2-x1)+=(x2-x1)(1-).要确定此式的正负只要确定1-的正负即可. 这样.又需要判断大于1.还是小于1.由于x1.x2的任意性.考虑到要将与. (1)当x1.x2∈(0.1)时.1-＜0. ∴f(x2)-f(x1)＜0.为减函数. (2)当x1.x2∈时.1-＞0. ∴f(x2)-f(x1)＞0.为增函数. 同理可求(3)当x1.x2∈当x1.x2∈时.为增函数. 评述:解答本题易出现以下错误结论:f(x)在上是减函数.在上是增函数.或说f(x)在上是单调函数.排除障碍的关键是要正确理解函数的单调性概念:函数的单调性是对某个区间而言的.而不是两个或两个以上不相交区间的并. 深化拓展 求函数y=x+(a＞0)的单调区间. 提示:函数定义域x≠0.可先考虑在上函数的单调性.再根据奇偶性与单调性的关系得到在上的单调性. 答案:在(-∞.-］.(.+∞)上是增函数.在(0.］.(-.0)上是减函数. [例4] 定义在R上的函数y=f(x).f(0)≠0.当x＞0时.f(x)＞1.且对任意的a.b∈R.有f(a+b)=f(a)·f(b). (1)求证:f(0)=1, (2)求证:对任意的x∈R.恒有f(x)＞0, (3)求证:f(x)是R上的增函数, (4)若f(x)·f(2x-x2)＞1.求x的取值范围. (1)证明:令a=b=0.则f(0)=f 2(0). 又f(0)≠0.∴f(0)=1. (2)证明:当x＜0时.-x＞0. ∴f(0)=f(x)·f(-x)=1. ∴f(-x)=＞0.又x≥0时f(x)≥1＞0. ∴x∈R时.恒有f(x)＞0. (3)证明:设x1＜x2.则x2-x1＞0. ∴f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)·f(x1). ∵x2-x1＞0.∴f(x2-x1)＞1. 又f(x1)＞0.∴f(x2-x1)·f(x1)＞f(x1). ∴f(x2)＞f(x1).∴f(x)是R上的增函数. (4)解:由f(x)·f(2x-x2)＞1.f(0)=1得f(3x-x2)＞f(0).又f(x)是R上的增函数. ∴3x-x2＞0.∴0＜x＜3. 评述:解本题的关键是灵活应用题目条件.尤其是(3)中“f(x2)=f［(x2-x1)+x1］ 是证明单调性的关键.这里体现了向条件化归的策略. ●闯关训练 夯实基础 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    有下列几个命题：
    ①函数y=2x2+x+1在（0，+∞）上不是增函数；②函数y=
    1
    x+1
    在（-∞，-1）∪（-1，+∞）上是减函数；③函数y=
    		5+4x-x2
    的单调区间是[-2，+∞）；④已知f（x）在R上是增函数，若a+b＞0，则有f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b）．其中正确命题的序号是
     
    ．

    查看答案和解析>>

    有下列几个命题：
    ①函数y=2x2+x+1在（0，+∞）上不是增函数；②函数y=
    1
    x+1
    在（-∞，-1）∪（-1，+∞）上是减函数；③函数y=
    		5+4x-x2
    的单调区间是[-2，+∞）；④已知f（x）在R上是增函数，若a+b＞0，则有f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b）．其中正确命题的序号是______．

    查看答案和解析>>

    有下列几个命题：
    ①函数y=2x2+x+1在（0，+∞）上不是增函数；②函数y=在（-∞，-1）∪（-1，+∞）上是减函数；③函数y=的单调区间是[-2，+∞）；④已知f（x）在R上是增函数，若a+b＞0，则有f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b）．其中正确命题的序号是    ．

    查看答案和解析>>

    有下列几个命题：
    ①函数y=2x2+x+1在（0，+∞）上不是增函数；②函数y=在（-∞，-1）∪（-1，+∞）上是减函数；③函数y=的单调区间是[-2，+∞）；④已知f（x）在R上是增函数，若a+b＞0，则有f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b）．其中正确命题的序号是    ．

    查看答案和解析>>

    有下列几个命题：
    ①函数y=2x2+x+1在（0，+∞）上不是增函数；②函数y=在（-∞，-1）∪（-1，+∞）上是减函数；③函数y=的单调区间是[-2，+∞）；④已知f（x）在R上是增函数，若a+b＞0，则有f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b）．其中正确命题的序号是    ．

    查看答案和解析>>


    同步练习册答案