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    对于公式a+b≥2.ab≤()2要讲清它们的作用和使用条件及内在联系.两个公式也体现了ab和a+b的转化关系. 拓展题例 [例1]设a.b∈R.关于x的方程x2+ax+b＝0的实根为α.β.若|a|+|b|＜1.求证:|α|＜1.|β|＜1. 证法一:∵α+β＝-a.αβ＝b. ∴|α+β|+|αβ|＝|a|+|b|＜1. ∴|α|-|β|+|α||β|＜1.(|α|-1)(|β|+1)＜0. ∴|α|＜1.同理.|β|＜1. 证法二:设f(x)=x2+ax+b.则有 f(1)＝1+a+b＞1-(|a|+|b|)＞1-1＝0. f(-1)＝1-a+b＞1-(|a|+|b|)＞0. ∵0≤|a|＜1.∴-1＜a＜1. ∴-＜-＜. ∴方程f(x)＝0的两实根在内.即|α|＜1.|β|＜1. 评述:证法一先利用韦达定理.再用绝对值不等式的性质恰好能分解因式,证法二考虑根的分布.证两根在内. [例2] 是否存在常数C.使得不等式+≤C≤+对任意正数x.y恒成立?试证明你的结论. 解:当x=y时.可由不等式得出C=. 下面分两个方面证明. 先证+≤.此不等式3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2(2x+y)(x+2y)x2+y2≥2xy. 再证+≥. 此不等式3x(2x+y)+3y(x+2y)≥2(x+2y)(2x+y)2xy≤x2+y2. 综上.可知存在常数C=.使对任何正数x.y不等式恒成立. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    （2011•西安模拟）已知函数f(x)=
    1
    4x+2
    对于满足a+b=1的实数a，b都有f(a)+f(b)=
    1
    2
    ．根据以上信息以及等差数列前n项和公式的推导方法计算：f(
    1
    2011
    )+f(
    2
    2011
    )+f(
    3
    2011
    )+…+f(
    2011
    2011
    )    =
    1508
    3
    1508
    3
    ．

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    已知函数f(x)=
    1
    4x+2
    对于满足a+b=1的实数a，b都有f(a)+f(b)=
    1
    2
    ．根据以上信息以及等差数列前n项和公式的推导方法计算：f(
    1
    2011
    )+f(
    2
    2011
    )+f(
    3
    2011
    )+…+f(
    2011
    2011
    )    =______．

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    （选做2）已知当a≠b及n∈N*时有公式：an+an-1b+…+arbn-r+…+abn-1+bn=
    bn+1-an+1
    b-a

    （1）利用上述公式证明：对于0＜a＜b，有（n+1）（b-a ） an＜b n+1-an+1＜（n+1）（b-a） bn．
    （2）证明：对一切n∈N*，有（1+
    1
    n
    ）n＜（1+
    1
    n+1
    ）n+1．

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    （2013•崇明县一模）已知数列{an}，记A（n）=a1+a2+a3+…+an，B（n）=a2+a3+a4+…+an+1，C（n）=a3+a4+a5+…+an+2，（n=1，2，3，…），并且对于任意n∈N*，恒有an＞0成立．
    （1）若a1=1，a2=5，且对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{an}的通项公式；
    （2）证明：数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列．

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    对于集合M={1，2，3…，2n，…}，若集合A={a1，a2，…，an，…}，B={b1，b2，…，bn，…}，n∈N*，满足A∪B=M．
    （1）若数列{an}的通项公式是an=2n-1，求等差数列{bn}的通项公式；
    （2）若M为2n元集合，A∩B=∅且
    n
    k=1
    an=
    n
    k=1
    bn    ，则称A∪B是集合M的一种“等和划分”（A∪B与B∪A算是同一种划分）．
    已知集合M={1，2，…，12}
    ①若12∈A，集合A中有五个奇数，试确定集合A；
    ②试确定集合M共有多少种等和划分？

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