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  • 试题
    设x.y∈R.i.j为直角坐标平面内x.y轴正方向上的单位向量.若向量a=xi+(y+2)j.b=xi+(y-2)j.且|a|+|b|=8. (1)求点M(x.y)的轨迹C的方程. 作直线l与曲线C交于A.B两点.设=+.是否存在这样的直线l.使得四边形OAPB是矩形?若存在.求出直线l的方程,若不存在.试说明理由. (1)解法一:∵a=xi+(y+2)j.b=xi+(y-2)j.且|a|+|b|=8. ∴点M(x.y)到两个定点F1.F2(0.2)的距离之和为8. ∴轨迹C为以F1.F2为焦点的椭圆.方程为+=1. 解法二:由题知.+=8. 移项.得=8-. 两边平方.得 x2+(y+2)2=x2+(y-2)2-16+64. 整理.得2=8-y. 两边平方.得4［x2+(y-2)2］=(8-y)2. 展开.整理得+=1. (2)∵l过y轴上的点(0.3). 若直线l是y轴.则A.B两点是椭圆的顶点. ∵=+=0. ∴P与O重合.与四边形OAPB是矩形矛盾. ∴直线l的斜率存在.设l方程为y=kx+3.A(x1.y1).B(x2.y2). 消y得(4+3k2)x2+18kx-21=0.此时.Δ=(18k2)-4(4+3k2) 由 y=kx+3. +=1. (-21)＞0恒成立.且x1+x2=-.x1x2=-. ∵=+.∴四边形OAPB是平行四边形.若存在直线l.使得四边形OAPB是矩形.则OA⊥OB.即·=0. ∵=(x1.y1).=(x2.y2). ∴·=x1x2+y1y2=0. 即(1+k2)x1x2+3k(x1+x2)+9=0. 即(1+k2)·(-)+3k·(-)+9=0.即k2=.得k=±. ∴存在直线l:y=±x+3.使得四边形OAPB是矩形. 探究创新 【查看更多】

     

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