已知(4.2)是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点.则l的方程是 . 解析:设直线l与椭圆交于P1(x1.y1).P2(x2.y2). 将P1.P2两点坐标代入椭圆方程相减——青夏教育精英家教网—

已知(4.2)是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点.则l的方程是 . 解析:设直线l与椭圆交于P1(x1.y1).P2(x2.y2). 将P1.P2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l斜率k==-= - =-=-. 由点斜式可得l的方程为x+2y-8=0. 答案:x+2y-8=0 ●典例剖析 [例1] 已知直线l:y=tanα(x+2)交椭圆x2+9y2=9于A.B两点.若α为l的倾斜角.且|AB|的长不小于短轴的长.求α的取值范围. 剖析:确定某一变量的取值范围.应设法建立关于这一变量的不等式.题设中已经明确给定弦长≥2b.最后可归结为计算弦长求解不等式的问题. 解:将l方程与椭圆方程联立.消去y.得(1+9tan2α)x2+36tan2α·x+72tan2α-9=0. ∴|AB|=|x2-x1| =· =. 由|AB|≥2.得tan2α≤. ∴-≤tanα≤. ∴α的取值范围是［0.)∪［.π). 评述:对于弦长公式一定要能熟练掌握.灵活运用.本题由于l的方程由tanα给出.所以可以认定α≠.否则涉及弦长计算时.还应讨论α=时的情况. 深化拓展本题若把条件|AB|的长不小于短轴的长去掉.改为求|AB|的长的取值范围.读者不妨一试. 提示:|AB|=. 设|AB|=y.即y=. 9ytan2α+y=6tan2α+6. (9y-6)tan2α+y-6=0. 当y≠时.由Δ≥0得＜y≤6. 当y=时.l与x轴垂直. 故|AB|的范围是［.6］. [例2] 已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A.B两点. (1)求证:OA⊥OB, (2)当△OAB的面积等于时.求k的值. 剖析:证明OA⊥OB可有两种思路: (1)证kOA·kOB=-1, (2)取AB中点M.证|OM|=|AB|. 求k的值.关键是利用面积建立关于k的方程.求△AOB的面积也有两种思路: (1)利用S△OAB=|AB|·h(h为O到AB的距离), (2)设A(x1.y1).B(x2.y2).直线和x轴交点为N.利用S△OAB=|AB|·|y1-y2|. 请同学们各选一种思路给出解法. 解方程组时.是消去x还是消去y.这要根据解题的思路去确定.当然.这里消去x是最简捷的. (1)证明:如下图.由方程组消去x后.整理得 y2=-x. y=k(x+1) ky2+y-k=0. 设A(x1.y1).B(x2.y2).由韦达定理y1·y2=-1. ∵A.B在抛物线y2=-x上. ∴y12=-x1.y22=-x2.y12·y22=x1x2． ∵kOA·kOB=·===-1. ∴OA⊥OB. (2)解:设直线与x轴交于N.又显然k≠0. ∴令y=0.则x=-1.即N. ∵S△OAB=S△OAN+S△OBN =|ON||y1|+|ON||y2| =|ON|·|y1-y2|. ∴S△OAB=·1· =. ∵S△OAB=. ∴=.解得k=±. 评述:本题考查了两直线垂直的充要条件.三角形的面积公式.函数与方程的思想.以及分析问题.解决问题的能力. [例3] 在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称.求k的取值范围. 剖析:设B.C两点关于直线y=kx+3对称.易得直线BC:x=-ky+m.由B.C两点关于直线y=kx+3对称可得m与k的关系式. 而直线BC与抛物线有两交点. ∴Δ＞0.即可求得k的范围. 解:设B.C关于直线y=kx+3对称.直线BC方程为x=-ky+m.代入y2＝4x.得y2+4ky-4m=0. 设B(x1.y1).C(x2.y2).BC中点M(x0.y0). 则y0＝＝-2k.x0＝2k2+m. ∵点M(x0.y0)在直线l上. ∴-2k=k(2k2+m)+3. ∴m=-. 又∵BC与抛物线交于不同两点. ∴Δ＝16k2+16m＞0. 把m代入化简得＜0. 即＜0.解得-1＜k＜0. 评述:对称问题是高考的热点之一.由对称易得两个关系式.本题运用了“设而不求 .解决本题的关键是由B.C两点在抛物线上得“Δ＞0 . 思考讨论将直线BC设为x=-ky+m.好!若直线BC的方程设为y=-x+m.本题运算量增大.同学们不妨一试. ●闯关训练夯实基础【查看更多】

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