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    如图.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中.底面边长为2.侧棱长为4.E.F分别为棱AB.BC的中点.EF∩BD=G. (1)求证:平面B1EF⊥平面BDD1B1, (2)求点D1到平面B1EF的距离d. (1)证法一:连结AC. ∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形.∴AC⊥BD.又AC⊥D1D.∴AC⊥平面BDD1B1. ∵E.F分别为AB.BC的中点.故EF∥AC. ∴EF⊥平面BDD1B1. ∴平面B1EF⊥平面BDD1B1. 证法二:∵BE=BF.∠EBD=∠FBD=45°. ∴EF⊥BD. 又EF⊥D1D.∴EF⊥平面BDD1B1. ∴平面B1EF⊥平面BDD1B1. (2)在对角面BDD1B1中.作D1H⊥B1G.垂足为H. ∵平面B1EF⊥平面BDD1B1.且平面B1EF∩平面BDD1B1=B1G. ∴D1H⊥平面B1EF.且垂足为H. ∴点D1到平面B1EF的距离d=D1H. 解法一:在Rt△D1HB1中. D1H=D1B1·sin∠D1B1H. ∵D1B1=A1B1=·2=4. sin∠D1B1H=sin∠B1GB===. ∴d=D1H=4·=. 解法二:∵△D1HB1∽△B1BG. ∴=. ∴d=D1H===. 解法三:连结D1G.则△D1GB1的面积等于正方形DBB1D1面积的一半.即·B1G·D1H=B1B2. ∴d=D1H== . 培养能力 【查看更多】

     

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