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    如图.在四棱锥P-ABCD中.底面ABCD是正方形.侧棱PD⊥底面ABCD.PD=DC.E是PC的中点.作EF⊥PB交PB于点F. (1)证明:PA∥平面EDB, (2)证明:PB⊥平面EFD, (3)求二面角C-PB-D的大小. 解法一:(1)证明:连结AC交BD于O.连结EO. ∵底面ABCD是正方形.∴点O是AC的中点. 在△PAC中.EO是中位线. ∴PA∥EO. 而EO平面EDB且PA平面EDB. ∴PA∥平面EDB. (2)证明:∵PD⊥底面ABCD且DC底面ABCD.∴PD⊥DC. ∵PD=DC.可知△PDC是等腰直角三角形.而DE是斜边PC的中线. ∴DE⊥PC. ① 同样由PD⊥底面ABCD.得PD⊥BC. ∵底面ABCD是正方形.有DC⊥BC. ∴BC⊥平面PDC. 而DE平面PDC.∴BC⊥DE. ② 由①和②推得DE⊥平面PBC. 而PB平面PBC.∴DE⊥PB. 又EF⊥PB且DE∩EF=E.所以PB⊥平面EFD. 知PB⊥DF.故∠EFD是二面角C-PB-D的平面角. 由(2)知.DE⊥EF.PD⊥DB. 设正方形ABCD的边长为a.则PD=DC=a.BD=a. PB==a. PC==a. DE=PC=a. 在Rt△PDB中. DF===a. 在Rt△EFD中. sin∠EFD===. ∴∠EFD=. ∴二面角C-PB-D的大小为. 解法二:如图所示建立空间直角坐标系.D为坐标原点.设DC=a. (1)证明:连结AC交BD于G.连结EG. 依题意得A(a.0.0).P(0.0.a).E(0..). ∵底面ABCD是正方形.∴G是此正方形的中心.故点G的坐标为(..0)且=(a.0.-a). =(.0.-). ∴=2.这表明PA∥EG. 而EG平面EDB且PA平面EDB. ∴PA∥平面EDB. (2)证明:依题意得B(a.a.0). =(a.a.-a). 又=(0..). 故·=0+-=0. ∴PB⊥DE. 由已知EF⊥PB.且EF∩DE=E. ∴PB⊥平面EFD. (3)解:设点F的坐标为(x0.y0.z0). =λ.则(x0.y0.z0-a)=λ(a.a.-a). 从而x0=λa.y0=λa.z0=(1-λ)a. ∴ =(-x0.-y0.-z0)=［-λa.(-λ)a.(λ-)a］. 由条件EF⊥PB知·=0.即 -λa2+(-λ)a2-(λ-)a2=0. 解得λ=. ∴点F的坐标为(..).且=(-..-). =(-.-.-).∴·=--+=0.即PB⊥FD. 故∠EFD是二面角C-PB-D的平面角. ∵·=-+=.且||=·a.||=·a. ∴cos∠EFD==. ∴∠EFD=.∴二面角C-PB-D为. ●思悟小结 【查看更多】

     

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