夹在互相垂直的两个平面之间长为2a的线段和这两个平面所成的角分别为45°和30°.过这条线段的两个端点分别向这两个平面的交线作垂线.则两垂足间的距离为 . 解析:如下图.平面α⊥β.α∩β=l.A∈α.B∈β.AB=2a. AC⊥l于点C.BD⊥l于点D. 则CD即为所求. ∵α⊥β.AC⊥l.∴AC⊥β.∠ABC就是AB与平面β所成的角. 故∠ABC=30°.故AC=a. 同理.在Rt△ADB中求得AD=a. 在Rt△ACD.CD==a. 答案:a ●典例剖析 [例1] 如下图.过S引三条长度相等但不共面的线段SA.SB.SC.且∠ASB=∠ASC=60°.∠BSC=90°.求证:平面ABC⊥平面BSC. 剖析:本题是面面垂直的证明问题.一条是从定义出发的思路.即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线.但图中似乎没有现成的这样的直线.故作辅助线.根据已知条件的特点.取BC的中点O.连结AO.SO.既可证明AO⊥平面BSC.又可证明SO⊥平面ABC.另一条是从定义出发的思路.即证明两个平面所成的二面角是直二面角.注意到∠AOS是二面角A-BC-S的平面角.转化为证明∠AOS是直角. 证法一:取BC的中点O.连结AO.SO. ∵AS=BS=CS.SO⊥BC. 又∵∠ASB=∠ASC=60°.∴AB=AC. 从而AO⊥BC. 设AS=a.又∠BSC=90°.则SO=a. 又AO=== a. ∴AS2=AO2+SO2.故AO⊥OS. 从而AO⊥平面BSC.又AO平面ABC. ∴平面ABC⊥平面BSC. 证法二:同证法一证得AO⊥BC.SO⊥BC. ∴∠AOS就是二面角A-BC-S的平面角.再同证法一证得AO⊥OS.即∠AOS=90°. ∴平面ABC⊥平面BSC. 特别提示本题揭示的是证面面垂直常用的两种方法.此外.本题中证明∠AOS=90°的方法较为特殊.即通过“算 .定量地证得直角.而不是通过位置关系定性地推理出直角.这也是立体何中证明垂直的一种重要方法. [例2] 如下图.在三棱锥S-ABC中.SA⊥平面ABC.平面SAB⊥平面SBC. (1)求证:AB⊥BC, (2)若设二面角S-BC-A为45°.SA=BC.求二面角A-SC-B的大小. (1)证明:作AH⊥SB于H. ∵平面SAB⊥平面SBC. ∴AH⊥平面SBC. 又SA⊥平面ABC.∴SA⊥BC. SA在平面SBC上的射影为SH. ∴BC⊥SB.又SA∩SB=S. ∴BC⊥平面SAB. ∴BC⊥AB. (2)解:∵SA⊥平面ABC. ∴平面SAB⊥平面ABC.又平面SAB⊥平面SBC. ∴∠SBA为二面角S-BC-A的平面角. ∴∠SBA=45°.设SA=AB=BC=a. 作AE⊥SC于E.连结EH.则EH⊥SC.∠AEH为二面角A-SC-B的平面角. AH=a.AC=a.SC=a.AE=a. ∴sin∠AEH=.二面角A-SC-B为60°. 思考讨论证明两个平面垂直的常见方法: (1)根据定义.证其二面角的平面角是直角, (2)根据判定定理.证明一个平面经过另一个平面的垂线. [例3] 已知正三棱柱ABC-A1B1C1.若过面对角线AB1与另一面对角线BC1平行的平面交上底面A1B1C1的一边A1C1于点D. (1)确定D的位置.并证明你的结论, (2)证明:平面AB1D⊥平面AA1D, (3)若AB∶AA1=.求平面AB1D与平面AB1A1所成角的大小. 剖析:本题的结论是“开放性的.点D位置的确定如果仅凭已知条件推理难以得出.由于AB1与BC1这两条面对角线是相邻二侧面上的异面直线.于是可考虑将BC1沿BA平行移动.BC1取AE1位置.则平面AB1E1一定平行BC1.问题可以解决. (1)解:如下图.将正三棱柱ABC-A1B1C1补成一直平行六面体ABCE-A1B1C1E1.由AE1∥BC1.AE1平面AB1E1.知BC1∥平面AB1E1.故平面AB1E1应为所求平面.此时平面AB1E1交A1C1于点D.由平行四边形对角线互相平行性质知.D为A1C1的中点. (2)证明:连结AD.从直平行六面体定义知AA1⊥底面A1B1C1D1.且从A1B1C1E1是菱形知.B1E1⊥A1C1.据三垂线定理知.B1E1⊥AD. 又AD∩A1C1=D.所以B1E1⊥平面AA1D. 又B1E1平面AB1D.所以平面AB1D⊥平面AA1D. (3)解:因为平面AB1D∩平面AA1D=AD. 所以过A1作A1H⊥AD于点H. 作HF⊥AB1于点F.连结A1F.从三垂线定理知A1F⊥AB1. 故∠A1FH是二面角A1-AB1-D的平面角. 设侧棱AA1=1.侧棱AB=. 于是AB1== . 在Rt△AB1A1中.A1F===. 在Rt△AA1D中.AA1=1.A1D=A1C1=.AD== . 则A1H==. 在Rt△A1FH中.sin∠A1FH==. 所以∠A1FH=45°. 因此可知平面AB1D与平面AB1A1所成角为45°或135°. 评述:本题主要考查棱柱的性质.以及面面关系.二面角的计算.同时考查空间想象能力和综合运用知识解决问题的能力. 特别提示【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

夹在互相垂直的两个平面之间长为2a的线段和这两个平面所成的角分别为45°和30°，过这条线段的两个端点分别向这两个平面的交线作垂线，则两垂足间的距离为

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夹在互相垂直的两个平面之间长为2a的线段和这两个平面所成的角分别为45°和30°,过这条线段的两个端点分别向这两个平面的交线作垂线,则两垂足间的距离为____________.

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夹在互相垂直的两个平面之间长为2a的线段和这两个平面所成的角分别为45°和30°，过这条线段的两个端点分别向这两个平面的交线作垂线，则两垂足间的距离为．

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