（Ⅰ）已知函数.数列满足：，且,记数列的前项和为，且.求数列的通项公式；并判断是否仍为数列中的项？若是，请证明；否则，说明理由.

（Ⅱ）设为首项是,公差的等差数列，求证：“数列中任意不同两项之和仍为数列中的项”的充要条件是“存在整数，使”.

已知函数f（x）=（

x

-2）²（x≥4）的反函数为f^-1（x），数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=f^-1（a_n）（n∈N^*），数列{b_n}满足bn=

4

an+1-1

(n∈N×)．
（Ⅰ）求证{

an

}为等差数列；
（Ⅱ）若数列{b_n}的前n项和为S_n，求S_n．

已知函数f(x)=2-

1

x

，数列{a_n}满足a_n=f（a_n-1）（n≥2，n∈N⁺）．
（Ⅰ）若a1=

3

5

，数列{b_n}满足bn=

1

an-1

，求证：数列{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）若a1=

3

5

，数列{a_n}中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大项与最小项；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若1＜a₁＜2，试证明：1＜a_n+1＜a_n＜2．

已知函数f(x)=

4x-2

x+1

(x≠-1，x∈R)，数列{a_n}满足 a₁=a（a≠-1，a∈R），a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（1）若数列{a_n}是常数列，求a的值；
（2）当a₁=4时，记bn=

an-2

a n-1

(n∈N*)，证明数列{b_n}是等比数列，并求出通项公式a_n．

已知函数f（x）=x²+x．
（1）数列{a_n}满足a₁＞0，a_n+1=f'（a_n），若

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

＜

1

2

对任意n∈N₊恒成立，求a₁的取值范围；
（2）数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=f（b_n），n∈N₊，记Cn=

1

1+bn

，S_k为数列{c_n}前k项和，T_k为数列{c_n}的前k项积，求证：

T1

S1+T1

+

T2

S2+T2

+…+

Tn

Sn+Tn

＜

7

10

．