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    2008山东卷理 已知函数其中n∈N*,a为常数. (Ⅰ)当n=2时.求函数f(x)的极值, (Ⅱ)当a=1时.证明:对任意的正整数n,当x≥2时.有f(x)≤x-1. (Ⅰ)解:由已知得函数f(x)的定义域为{x|x＞1}. 当n=2时. 所以 (1)当a＞0时.由f(x)=0得 ＞1.＜1. 此时 . 当x∈(1.x1)时.f′(x)＜0,f(x)单调递减, 当x∈(x1+∞)时.f′(x)＞0, f(x)单调递增. (2)当a≤0时.f′(x)＜0恒成立.所以f(x)无极值. 综上所述.n=2时. 当a＞0时.f(x)在处取得极小值.极小值为 当a≤0时.f(x)无极值. (Ⅱ)证法一:因为a=1,所以 当n为偶数时.令 则=1+＞0(x≥2). 所以当x∈[2,+∞]时.g(x)单调递增. 又g(2)=0 因此≥g(2)=0恒成立. 所以f(x)≤x-1成立. 当n为奇数时. 要证≤x-1,由于＜0.所以只需证ln(x-1) ≤x-1, 令 则 所以 当x∈[2.+∞]时.单调递增.又h(2)=1＞0. 所以当x≥2时.恒有h(x) ＞0,即ln(x-1)＜x-1命题成立. 综上所述.结论成立. 证法二:当a=1时. 当x≤2.时.对任意的正整数n.恒有≤1. 故只需证明1+ln(x-1) ≤x-1. 令 则 当x≥2时.≥0.故h(x)在上单调递增. 因此 当x≥2时.h(x)≥h(2)=0.即1+ln(x-1) ≤x-1成立. 故 当x≥2时.有≤x-1.即f(x)≤x-1. 分析:考查函数的导数概念.求导的技能和导数的应用.利用导数的工具研究函数的性质.不仅体现教材改革的一种理念.也是初等数学和高等数学一个很好的衔接点.该题解法中应用到函数与方程的思想.分类讨论.转化与化归思想.达到了知识内容考查与 思想方法考查相结合的目的. 4 2008年山东卷文 21． 设函数.已知和为的极值点． (Ⅰ)求和的值,(Ⅱ)讨论的单调性, (Ⅲ)设.试比较与的大小． 解:(Ⅰ)因为. 又和为的极值点.所以. 因此 解方程组得.． (Ⅱ)因为.. 所以.令.解得..． 因为当时., 当时.． 所以在和上是单调递增的,在和上是单调递减的． 可知. 故.令. 则． 令.得. 因为时.. 所以在上单调递减． 故时., 因为时.. 所以在上单调递增． 故时.． 所以对任意.恒有.又. 因此.故对任意.恒有． 分析:考查函数的导数概念.求导的技能和导数的应用.求导后判断单调性和极值点时用到了方程的思想.与理科比较.题目虽简单.也达到了知识内容考查与 思想方法考查相结合的目的. 【查看更多】

     

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