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    以下四个关于圆锥曲线的命题中 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    以下四个关于圆锥曲线的命题中
    ①设A、B为两个定点，k为非零常数，|
    PA
    |-|
    PB
    |=k，则动点P的轨迹为双曲线；
    ②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若
    OP
    =
    1
    2
    （
    OA
    +
    OB
    ），则动点P的轨迹为椭圆；
    ③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
    ④双曲线
    x2
    25
    -
    y2
    9
    =1与椭圆
    x2
    35
    +y2=1有相同的焦点．
    其中真命题的序号为
     
    （写出所有真命题的序号）

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    以下四个关于圆锥曲线的命题中：
    ①设A、B为两个定点，k为非零常数，若||PA|-|PB||=k，则动点P的轨迹为双曲线；
    ②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若
    OP
    =
    1
    2
    OA
    +
    1
    2
    OB
    ，则动点P的轨迹为椭圆；
    ③抛物线x=ay2（a≠0）的焦点坐标是(
    1
    4a
    ，0)    ；
    ④曲线
    x2
    16
    -
    y2
    9
    =1    与曲线
    x2
    35-λ
    +
    y2
    10-λ
    =1    （λ＜35且λ≠10）有相同的焦点．
    其中真命题的序号为
     
    写出所有真命题的序号．

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    以下四个关于圆锥曲线的命题中：
    ①设A、B为两个定点，k为非零常数，|
    PA
    |-|
    PB
    |=k    ，则动点P的轨迹为双曲线；
    ②以定点A为焦点，定直线l为准线的椭圆（A不在l上）有无数多个；
    ③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
    ④过原点O任做一直线，若与抛物线y2=3x，y2=7x分别交于A、B两点，则
    OA
    OB
    为定值．
    其中真命题的序号为
     
    （写出所有真命题的序号）

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    以下四个关于圆锥曲线的命题中：
    ①设A、B为两个定点，k为正常数，|
    PA
    |+|
    PB
    |=k    ，则动点P的轨迹为椭圆；
    ②双曲线
    x2
    25
    -
    y2
    9
    =1    与椭圆
    x2
    35
    +y2=1    有相同的焦点；
    ③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，则0＜a＜3；
    ④和定点A（5，0）及定直线l：x=
    25
    4
    的距离之比为
    5
    4
    的点的轨迹方程为
    x2
    16
    -
    y2
    9
    =1    ．
    其中真命题的序号为
     
    ．

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    以下四个关于圆锥曲线的命题中：
    ①设A、B为两个定点，k为非零常数，|
    PA
    |-|
    PB
    |=k    ，则动点P的轨迹为双曲线；
    ②以过抛物线的焦点的一条弦AB为直径作圆，则该圆与抛物线的准线相切；
    ③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
    ④双曲线
    x2
    25
    -
    y2
    9
    =1与椭圆
    x2
    35
    +y2=1    有相同的焦点．
    其中真命题的序号为
     
    （写出所有真命题的序号）

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    一、选择题：

    题号

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    答案

    二、填空题：

    11. ；      12. ；          13. ；

    14. ；            15. ；        16. ③ ④ .

    三、解答题：

    17.解：（1）在中，由，得，  又由正弦定理： 得：.                                     ……………………4分

    （2）由余弦定理：得：，

    即，解得或（舍去），所以.       ……8分

     

    所以，

    即.                                      …………………12分

    18.解：（1）依题意，双曲线的方程可设为：、，

    则                解之得：，

    所以双曲线的方程为：.                  ……………………6分

    （2）设、，直线与轴交于点，此点即为双曲线的右焦点，由   消去，得，

    此方程的且，，

    所以、两点分别在左、右支上，不妨设在左支、在右支上   ………9分

    则由第二定义知：，，     …………11分

    所以

    ，即. ………14分

    （亦可求出、的坐标，用两点间距离公式求.）

     

    19.（1）当点为的中点时，与平面平行.

    ∵在中，、分别为、的中点

    ∴∥   又平面，而平面 

        ∴∥平面.                              ……………………4分

     

    （2）证明（略证）：易证平面，又是在平面内的射影，，∴.                         ……………………8分

     (3)∵与平面所成的角是，∴，，.

    过作于，连，则.     …………………10分

    易知：，，设，则，，

    在中，，

    得.                 ………14分

     

     

     

    解法二:（向量法）（1）同解法一

    （2）建立图示空间直角坐标系，则，                          ，，.

    设，则

          ∴   （本小题4分）

    （3）设平面的法向量为，由，

    得：，

    依题意，∴，

    得.                             （本小题6分）

     

    20.解：（1），

    ∴可设，

    因而   ①

    由  得          ②

    ∵方程②有两个相等的根，

    ∴，即  解得  或

    由于，（舍去），将 代入 ①  得 的解析式.                                …………………6分

    （2）=，

    ∵在区间内单调递减，

    ∴在上的函数值非正，

    由于，对称轴，故只需，注意到，∴，得或（舍去）

    故所求a的取值范围是.                     …………………11分

     （3）时，方程仅有一个实数根，即证方程 仅有一个实数根.令，由，得，，易知在，上递增，在上递减，的极大值，的极小值，故函数的图像与轴仅有一个交点，∴时，方程仅有一个实数根，得证.                                    ……………………16分

     

    21.解：（1），                        ……………………1分

    =.                      ……………………4分

    （2），           ……………………5分

    ，………7分

    ∴数列是为首项，为公比的等比数列.       ……………………8分

    （3）由（2）知， Sn =， ……………9分

    =∵0<<1，∴>0，，0<<1，，

    ∴，                                     ……………………11分

    又当时，，∴， ……………………13分

    ∴<.……14分

     


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