下列命题：
①若区间D内任意实数x都有f（x+1）＞f（x），则y=f（x）在D上是增函数；
②y=-

1

x

在定义域内是增函数；
③函数f(x)=

1-x2

|x+1|-1

图象关于原点对称；
④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f（x）=0 （x∈R）；  
其中正确的序号是．

在下列说法中：
①．y=

x+1

-

x-1

与y=

x2-1

是相同的函数；
②．若奇函数f（x）在（0，+∞）上递增，且f（x）＜0，则F（x）=

1

f(x)

在（-∞，0）上递减；
③．

n	an

 +

n-1	an-1

=2a(n≥1且n∈N*)成立的条件是a＞0；
④．函数y=-e^x的图象与函数y=e^x的图象关于原点对称．
其中正确的序号有．

下列命题中：
①f（x）的图象与f（-x）关于y轴对称．
②f（x）的图象与-f（-x）的图象关于原点对称．
③y=|lgx|与y=lg|x|的定义域相同，它们都只有一个零点．
④二次函数f（x）满足f（2-x）=f（2+x）并且有最小值，则f（0）＜f（5）．
⑤若定义在R上的奇函数f（x），有f（3+x）=-f（x），则f（2010）=0
其中所有正确命题的序号是．

已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：
①x₁、x₂、x₁-x₂是定义域中的数时，有f(x1-x2)=

f(x1)f(x2)+1

f(x2)-f(x1)

；
②f（a）=-1（a＞0，a是定义域中的一个数）；
③当0＜x＜2a时，f（x）＜0．
（1）判断f（x₁-x₂）与f（x₂-x₁）之间的关系，并推断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在（0，2a）上的单调性，并证明；
（3）当函数f（x）的定义域为（-4a，0）∪（0，4a）时，
 ①求f（2a）的值；②求不等式f（x-4）＜0的解集．

设函数f（x）的定义域为D，若存在x₀∈D，使f（x₀）=x₀成立，则称以（x₀，x₀）为坐标的点为函数f（x）图象上的不动点．
（1）若函数f（x）=

3x+a

x+b

图象上有两个关于原点对称的不动点，求a，b应满足的条件；
（2）在（1）的条件下，若a=8，记函数f（x）图象上的两个不动点分别为A、B，点M为函数图象上的另一点，且其纵坐标y_M＞3，求点M到直线AB距离的最小值及取得最小值时M点的坐标；
（3）下述命题“若定义在R上的奇函数f（x）图象上存在有限个不动点，则不动点的有奇数个”是否正确？若正确，给出证明，并举一例；若不正确，请举一反例说明．