把所有正整数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示的数表，其中第i行共有2^i-1个正整数，设a_ij（i，j∈N*）表示位于这个数表中从上往下数第i行，从左往右第j个数．
（Ⅰ）若a_ij=2013，求i和j的值；
（Ⅱ）记A_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn（n∈N*），求证：当n≥4时，A_n＞n²+C

3 n

．

函数f（x）=ax²+2x+1，g（x）=lnx．
（I）设F（x）=f（x）-g（x），求F（x）的两个极值点的充要条件．
（II）求证：当a≥0时，不等式f（x）≥g（x）恒成立．

（2012•泸州模拟）设函数f(x)=loga

1+x

1-x

(a＞0且a≠1)．
（I）求f(m)+f(n)-f(

m+n

1+mn

)的值；
（II）若关于x的方程loga

t

(1-x)(2x2-5x+5)

=f(x)在x∈[0，1）上有实数解，求实数t的取值范围．
（III）设函数g（x）是函数f（x）的反函数，求证：当a＞1时，

n

k=1

g(a-k)＜

lna

2(a-1)

(n∈N*)．．

（2008•临沂二模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

6

3

，F为右焦点，M、N两点在椭圆C上，且

MF

=λ

FN

（λ＞0）定点A（-4，0）
（I）求证：当λ=1时，有

MN

⊥

AF

；
（Ⅱ）若λ=1时，有

AM

•

AN

=

106

3

，求椭圆C的方程．
（Ⅲ）在（Ⅱ）确定的椭圆C上，当

AM

•

AN

×tan∠MAN的值为6

3

时，求直线MN的方程．

（2012•绵阳三模）已知数列{a_n}各项均为正数，S_n为其前n项和，对于n∈N^*，总有an，Sn，

a

2 n

成等差数列．
（I）求数列{a_n}的通项a_n；
（II）设数列{

1

an

}的前n项和为T_n，数列{T_n}的前n项和为R_n，求证：当n≥2，n∈N^*时，R_n-1=n（T_n-1）；
（III）对任意n≥2，n∈N^*，试比较

1

n

+

1

n+1

+

n

i=1

a -3 i

与2+

1

2

的大小．