如图，已知椭圆C：

x2

a2

+y²=1（a＞1）的上顶点为A，离心率为

6

3

，若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P、Q两点，且

AP

•

AQ

=0．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求证：直线l过定点，并求出该定点N的坐标．

如图，已知直线

l

1

：y=2x+m(m＜0)与抛物线C1：y=ax2(a＞0)和圆C2：x2+(y+1)2=5都相切，F是C₁的焦点．
（1）求m与a的值；
（2）设A是C₁上的一动点，以A为切点作抛物线C₁的切线l，直线l交y轴于点B，以FA，FB为邻边作平行四边形FAMB，证明：点M在一条定直线上．

如图，已知F₁、F₂分别为椭圆C1：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的上、下焦点，其中F₁也是抛物线C2：x2=4y的焦点，点M是C₁与C₂在第二象限的交点，且|MF1|=

5

3

．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）已知点P（1，3）和圆O：x²+y²=b²，过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A，B，在线段AB上取一点Q，满足：

AP

=-λ

PB

，

AQ

=λ

QB

（λ≠0且λ≠±1），
求证：点Q总在某条定直线上．

如图，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁，F₂，其上顶点为A．已知△F₁AF₂是边长为2的正三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点Q（-4，0）任作一动直线l交椭圆C于M，N两点，记

MQ

=-λ•

QN

若在线段MN上取一点R，使得

MR

=λ•

RN

，试判断当直线l运动时，点R是否在某一定直线上运动？若在，请求出该定直线的方程；若不在，请说明理由．