设椭圆C：

x2

λ+1

+y2=1（λ＞0）的两焦点是F₁，F₂，且椭圆上存在点P，使

PF1

•

PF2

=0
（1）求实数λ的取值范围；
（2）若直线l：x-y+2=0与椭圆C存在一公共点M，使得|MF₁|+|MF₂|取得最小值，求此最小值及此时椭圆的方程．
（3）在条件（2）下的椭圆方程，是否存在斜率为k（k≠0）的直线?，与椭圆交于不同的两点A、B，满足

AQ

=

QB

，且使得过点Q，N（0，-1）两点的直线NQ满足

NQ

•

AB

=0？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

（理）设椭圆

x2

m+1

+y2=1的两个焦点是F₁（-c，0）、F₂（c，0）（c＞0），且椭圆上存在点M，使

MF1

•

MF2

=0．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若直线l：y=x+2与椭圆存在一个公共点E，使得|EF₁|+|EF₂|取得最小值，求此最小值及此时椭圆的方程；
（3）是否存在斜率为k（k≠0）的直线l，与条件（Ⅱ）下的椭圆交于A、B两点，使得经过AB的中点Q及N（0，-1）的直线NQ满足

NQ

•

AB

=0？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

设函数f（x）=

2x+3

3x

（x＞0），数列{a_n}满足a1=1，an=f(

1

an-1

)（n∈N^*，且n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）^n-1a_na_n+1，若T_n≥tn²对n∈N^*恒成立，求实数t的取值范围；
（3）是否存在以a₁为首项，公比为q（0＜q＜5，q∈N^*）的数列{a_n k}，k∈N^*，使得数列{a_n k}中每一项都是数列{a_n}中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列{n_k}的通项公式；若不存在，说明理由．