设函数f(x)=

1

3

x3-

a

2

x2+bx+c(a＞0)，曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y=1
（1）确定b，c的值
（2）若过点（0，2）可做曲线f（x）的三条不同切线，求a的取值范围
（3）设曲线y=f（x）在点（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂））处的切线都过点（0，2），证明：当x₁≠x₂时，f/(x1)≠f/(x2)．

已知函数f(x)=

ax3+x2，x＜1 blnx  ，x≥1

，函数f（x）在x=

2

3

处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）若b≤2，t＜0，函数f（x）在[t，e]（e为自然对数的底数）上的最大值为2，求实数t的取值范围；
（3）对任意给定的正实数b，曲线y=f（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？

已知函数f(x)=

-x3+x2+bx+c  ，(x＜1) alnx  ，(x≥1)

的图象过坐标原点O，且在点（-1，f（-1））处的切线的斜率是-5．
（1）试确定实数b，c的值，并求f（x）在区间[-1，2]上的最大值；
（2）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？说明理由．

已知函数f(x)=

1

3

x3-x2+ax+b的图象在点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x-2．
（Ⅰ）求实数a、b的值；
（Ⅱ）设g(x)=f(x)+

m

x-1

是[2，+∞]上的增函数，
（i）求实数m的最大值；
（ii）当m取最大值时，求曲线y=g（x）的对称中心．