A．（选修4-4坐标系与参数方程）已知点A是曲线ρ=2sinθ上任意一点，则点A到直线ρsin(θ+

π

3

)=4的距离的最小值是

 

．
B．（选修4-5不等式选讲）不等式|x-log₂x|＜x+|log₂x|的解集是

 

．
C．（选修4-1几何证明选讲）如图所示，AC和AB分别是圆O的切线，且OC=3，AB=4，延长AO到D点，则△ABD的面积是

 

．

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A．选修4-1：几何证明选讲
如图，圆O₁与圆O₂内切于点A，其半径分别为r₁与r₂（r₁＞r₂ ）．圆O₁的弦AB交圆O₂于点C （ O₁不在AB上）．求证：AB：AC为定值．
B．选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵A=

1 1 2 1

，向量β=

1 2

．求向量

α

，使得A²

α

=

β

．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆

x=5cosφ y=3sinφ

（φ为参数）的右焦点，且与直线

x=4-2t y=3-t

（t为参数）平行的直线的普通方程．
D．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）
解不等式：x+|2x-1|＜3．

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A．（几何证明选讲选做题） 如图，已知AB为圆O的直径，BC切圆O于点B，AC交圆O于点P，E为线段BC的中点．求证：OP⊥PE．

B．（矩阵与变换选做题） 已知M＝，N＝，设曲线y＝sinx在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程．

C．（坐标系与参数方程选做题） 在平面直角坐标系xOy中，直线m的参数方程为（t为参数）；在以O为极点、射线Ox为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρsinθ＝8cosθ．若直线m与曲线C交于A、B两点，求线段AB的长．

D．（不等式选做题）

设x，y均为正数，且x＞y，求证：2x＋≥2y＋3．

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一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 

1．D   2．B   3．D   4．A  5．C   6．B   7．D   8．C  

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

9． （）   10．12000     11．4    12．144     13．

14．      15．

三、解答题(本大题共6小题，共80分)

16．(本小题满分12分)

解：（Ⅰ）…………………………………2分

    ……………………………………………………3分

    ………………………………………………………5分

∴函数的最小正周期…………………………………………6分

（Ⅱ）当时，………………………………………8分

∴当即时，函数单调递增……………………10分

当即时，函数单调递减……………………12分

17．(本小题满分12分)

解：∵作品数量共有50件，∴…………①……………………2分

（Ⅰ）从表中可以看出，“艺术与创新为4分且功能与实用为3分”的作品数量为6件，

∴“艺术与创新为4分且功能与实用为3分”的概率为……………4分

（Ⅱ）由表可知“功能与实用”得分有1分、2分、3分、4分、5分五个等级，且每个等级分别有5件，件，15件，15件，年。

∴“功能与实用”得分的分布列为：

1

2

3

4

5

…………………………………8分

又∵“功能与实用”得分的数学期望为，

∴

与①式联立可解得：，……………………12分

18．(本小题满分14分)

解：（Ⅰ）在中，，，∴，……1分

在中，，，∴，…………2分

∴…………4分

则…………………………………………5分

（Ⅱ）∵平面，∴…………………………6分

又，，

∴平面………………………7分    

∵、分别为、中点，

∴………………………8分

∴平面………………………9分

∵平面，∴平面平面

………………………10分

（Ⅲ）取的中点，连结，则，

∴平面，过作于，

连接，则为二面角的平面角。

…………………………12分

∵为的中点，，，

∴，又，

∴，故

即三面角的大小为…………………………14分

19．(本小题满分14分)

解：由函数得，………………3分

(Ⅰ) 若为区间上的“凸函数”，则有在区间上恒成立，由二次函数的图像，当且仅当

，

即．  …………………………………………………7分

(Ⅱ)当时，恒成立当时，恒成立．……………………………………………………………………………8分

当时，显然成立。    …………………………………9分

当，

∵的最小值是．

∴．

从而解得  …………………………………………………………………11分

当，

∵的最大值是，∴，

从而解得．  ………………………………………………………………13分

综上可得，从而 ………………………………14分

20．(本小题满分14分)

解：（Ⅰ）∵抛物线的焦点为（），………………………1分

∴………………………………………………………………………2分

∴，所求方程为………………………………………4分

（Ⅱ）设动圆圆心为，（其中），、的坐标分别为，

因为圆过，故设圆的方程……………6分

∵、是圆和轴的交点

∴令得：…………………………………………………8分

则，

…………………10分

又∵圆心在抛物线上

∴ …………………………………………………………………11分

∴…………………………………．12分

∴当时，(定值)．  ……………………………………………14分

21．(本小题满分14分)

解：（Ⅰ）若为等比数列，则存在，使

对成立。…………………2分

由已知：，代入上式，整理得

 ………①……………4分

∵①式对成立，

∴解得……………………………………5分

∴当，时，数列是公比为2的等比数列…………6分

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得：，即

所以……………………………8分

∵…………………………9分

时，

…………………………11分

现证：（）

证法1：

当时，，

而，，故时成立。…………………………12分

时，由

且得，，∴…………………14分

证法2：

时

个

∴……………………………………14分

证法3：

（1）时，

，故时不等式成立……………………12分

（2）假设（）