（16分）设{a_n}是等差数列，其前n项的和为S_n.

（1）求证：数列为等差数列；

（2）设{a_n}各项为正数，a₁=，a₁≠a₂，若存在互异正整数m，n，p满足：①m+p=2n；

②. 求集合的元素个数；

（3）设b_n=(a为常数，a>0，a≠1，a₁≠a₂)，数列{b_n}前n项和为T_n. 对于正整数c，

（08年潍坊市质检文）（14分） 已知（m为常数，m>0且），设是首项为4，公差为2的等差数列.

   （Ⅰ）求证：数列{a_n}是等比数列；

   （Ⅱ）若b_n=a_n?，且数列{b_n}的前n项和S_n，当时，求S_n；

   （Ⅲ）若c_n=，问是否存在m，使得{c_n}中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由.

（13分）已知F₁、F₂是椭圆c₁：(a>b>0)的左、右焦点，A为右顶点，P为椭圆c₁上任意一点，且最大值的取值范围是[c²,3c²]，c²=a²-b².（1）求椭圆c₁离心率e的取值范围；（2）设双曲线c₂以椭圆c₁焦点为顶点，顶点为焦点，B是双曲线c₂在第一象限上任意一点，当椭圆c₁离心率e取得最小值时，问是否存在正常数λ使∠BAF₁=λ∠BF₁A恒成立？若存在，求出λ值；若不存在，请说明理由.

（本小题满分14分）已知函数f(x)=ae^x，g(x)= lna-ln(x +1)（其中a为常数，e为自然对数底），函数y =f(x)在A(0，a)处的切线与y =g(x)在B(0，lna)处的切线互相垂直.

  (Ⅰ) 求f(x) ，g(x)的解析式；

  (Ⅱ) 求证：对任意n ÎN^*，    f(n)+g(n)>2n；

  (Ⅲ) 设y =g(x-1)的图象为C₁，h(x)=-x²+bx的图象为C₂，若C₁与C₂相交于P、Q，过PQ中点垂直于x轴的直线分别交C₁、C₂于M、N，问是否存在实数b，使得C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行？说明你的理由.