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    (Ⅱ)求证:． 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    （Ⅰ）求证：
    sinx
    1-cosx
    =
    1+cosx
    sinx
    ；
    （Ⅱ）化简：
    tan(3π-α)
    sin(π-α)sin(
    3
    2
    π-α)
    +
    sin(2π-α)cos(α-
    7π
    2
    )
    sin(
    3π
    2
    +α)cos(2π+α)
    ．

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    （Ⅰ）求证：
    C
    m
    n
    =
    n
    m
    C
    m-1
    n-1
    ；
    （Ⅱ）利用第（Ⅰ）问的结果证明Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1；  
    （Ⅲ）其实我们常借用构造等式，对同一个量算两次的方法来证明组合等式，譬如：（1+x）1+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n=
    (1+x)[1-(1+x)n]
    1-(1+x)
    =
    (1+x)n+1-(1+x)
    x
    ；，由左边可求得x2的系数为C22+C32+C42+…+Cn2，利用右式可得x2的系数为Cn+13，所以C22+C32+C42+…+Cn2=Cn+13．请利用此方法证明：（C2n0）2-（C2n1）2+（C2n2）2-（C2n3）2+…+（C2n2n）2=（-1）nC2nn．

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    （Ⅰ）求证：
    sinx
    1-cosx
    =
    1+cosx
    sinx
    ；
    （Ⅱ）化简：
    tan(3π-α)
    sin(π-α)sin(
    3
    2
    π-α)
    +
    sin(2π-α)cos(α-
    7π
    2
    )
    sin(
    3π
    2
    +α)cos(2π+α)
    ．

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    （Ⅰ）求证：；
    （Ⅱ）化简：．

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    （Ⅰ）求证：；
    （Ⅱ）利用第（Ⅰ）问的结果证明Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1；  
    （Ⅲ）其实我们常借用构造等式，对同一个量算两次的方法来证明组合等式，譬如：（1+x）1+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n=；，由左边可求得x2的系数为C22+C32+C42+…+Cn2，利用右式可得x2的系数为Cn+13，所以C22+C32+C42+…+Cn2=Cn+13．请利用此方法证明：（C2n）2-（C2n1）2+（C2n2）2-（C2n3）2+…+（C2n2n）2=（-1）nC2nn．

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    一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．

    1-5：DBADC； 6-10：BACDC； 11-12：BC.

    二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．

    13．1或； 14．-4； 15．1； 16．6．

    三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．

    17．解：（Ⅰ）∵，

    ∴，????????????????????????? 3分

    ∴．??????????????????????? 6分

    （Ⅱ）∵且，

    ∴，∴，当且仅当时取＂＝＂．??? 8分

    ∵，∴，???????????? 10分

    ∴，当且仅当时取＂＝＂．

    故△ABC面积取最大值为．?????????????????????? 12分

     

    18．解：（Ⅰ）设袋中有黑球n个，则每次取出的一个球是黑球的概率为，    3分

    设“连续取两次，都是黑球”为事件A，∴，???????? 5分

    ∴，∴．?????????????????????? 6分

    （Ⅱ）由（Ⅰ）知，每次取出一个球，取到红球的概率是．???????? 7分

    设“连续取4次球，取到红球恰为2次”为事件B，“连续取4次球，取到红球恰为3次”为事件C，

    ∴；?????????????????????? 8分

    ．???????????????????????? 10分

    ∴取到红球恰为2次或3次的概率为．

    故连续取4次球，取到红球恰为2次或3次的概率等于.?????????? 12分

     

    19．（Ⅰ）证明：∵四边形AA1C1C是菱形，∴AA1＝A1C1＝C1C＝CA＝1，∴△AA1B是等边三角形，设O是AA1的中点，连接BO，则BO⊥AA1．???????????????????????????????? 2分

    ∵侧面ABB1A1⊥AA1C1C，∴BO⊥平面AA1C1C，菱形AA1C1C面积为，知C到AA1的距离为，，∴△AA1C1是等边三角形，且C1O⊥AA1，又C1O∩BO=O．

    ∴AA1⊥面BOC1，又BC1Ì面BOC1．∴AA1⊥BC1．??????????????? 4分

    （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OA、OC1、OB两两垂直，以O为原点，建立如图空间直角坐标系，则，，，，．则，，，．??????????????????????????? 5分

    设是平面ABC的一个法向量，

    则即

    令，则．设A1到平面ABC的距离为d．

    ∴．????????????????????? 8分

    （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知平面ABC的一个法向量是，又平面ACC1的一个法向量．∴．???????????????? 11分

    ∴二面角B－AC－C1的余弦值是．??????????????????? 12分

     

    20．解：（Ⅰ）证明：时，，；?????????????? 1分

    时，，所以，???????????? 2分

    即数列是以2为首项，公差为2 的等差数列．????????????? 3分

    ∴，，???????????????????? 4分

    当时，，当时，．???????? 5分

    ∴ ???????????????????????? 6分

    （Ⅱ）当时，，结论成立．????????????? 7分

    当时，?????? 8分

    ＝

    ????????????????????? 10分

    ．???????????????????????? 11分

    综上所述：．????????????????? 12分

     

    21．解：（Ⅰ）∵，∴．比较系数得，，，．????????????????????????????????? 1分

    ∴，，，???????????????????? 2分

    （Ⅱ）由（Ⅰ）知，

    ，令，得或或．

    x

    1

    2

    +

    0

    -

    0

    +

    0

    -

    ㄊ

    ㄋ

    ㄊ

    ㄋ

    ∴函数有极大值，，极小值．????? 4分

    ∵函数在区间上存在极值，

    ∴或或???????????? 5分

    解得或或．

    故实数．??????????????????? 6分

    （Ⅲ）函数的图象与坐标轴无交点，有如下两种情况：

    （?）当函数的图象与x轴无交点时，必须有：

    即??????????? 7分

    而，函数的值域为，

    ∴解得．???????????????????? 8分

    （?）当函数的图象与y轴无交点时，必须有：

    即而有意义，    9分

    ∴即解得．??????????? 10分

    由（?）、（?）知，p的范围是，

    故实数p的取值范围是．???????????????????? 12分

    22．解：（Ⅰ）设，，，，

    ，，，，

    ．?????????????????????? 2分

    ∵，∴，∴，∴．???????? 4分

    则N(c，0)，M(0，c)，所以，

    ∴，则，． ?????????????????? 5分

    ∴椭圆的方程为．?????????????????????? 6分

    （Ⅱ）∵圆O与直线l相切，则，即,????????? 7分

    由消去y得．

    ∵直线l与椭圆交于两个不同点，设，

    ，

    ∴，，?????????????????? 8分

    ∴，

    由，?????????????????? 9分

     

    ，．??????????????????????? 10分

    ．??????????? 11分

    （或）．

    设，则，，，

    ∴S关于u在区间单调递增，又，，???????? 13分

    ∴．???????????????????????????? 14

     


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