如图，P-ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等。（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）

（1）证明：P-ABC为正四面体；
（2）若PD=PA，求二面角D-BC-A的大小；（结果用反三角函数值表示）
（3）设棱台DEF-ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由。

查看答案和解析>>

查看答案和解析>>

查看答案和解析>>

（本小题满分14分）
如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点, 截面DEF∥底面ABC, 且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)

（1）求证：P-ABC为正四面体；
（2）棱PA上是否存在一点M，使得BM与面ABC所成的角为45°？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由。
（3）设棱台DEF-ABC的体积为V=, 是否存在体积为V且各棱长均相等的平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和，并且该平行六面体的一条侧棱与底面两条棱所成的角均为60°? 若存在,请具体构造出这样的一个平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

查看答案和解析>>

一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的。)

     B、D、C、A      B、A、D、B

二、填空题：(本大题共7小题，每小题5分，满分30分。其中13～15题是选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只计算前两题得分。)

9、；  10、800；    11、①③④；   12、，1005；

13、   14、；   15、

三、解答题：(本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。)

16、（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，MN底面ABCD

∴MN⊥PA   又MN⊥AD   且PA∩AD = A

∴MN⊥平面PAD  ………………………………………………4分

MN平面PMN   ∴平面PMN⊥平面PAD  ……………………6分

（2）∵BC⊥BA   BC⊥PA   PA∩BA = A   ∴BC⊥平面PBA

∴∠BPC为直线PC与平面PBA所成的角                  

即……………………………………………10分

在中，

∴  ………………12分

17、解：（1）由题意可知、、、、这5个点相邻两点间的弧长为

的可能的取值有，2，3，4

 ，

，

于是=×＋2×＋3×＋4×=2。…………………6分

（2）连结MP，取线段MP的中点D，则OD⊥MP，易求得OD=，

当S点在线段MP上时，三角形SAB的面积等于××8 =，

所以只有当S点落在阴影部分时，面积才能大于，

S_阴影 = S_扇形OMP - S_△OMP = ××-×= 4-8，

所以由几何概型公式的三角形SAB的面积大于的概

率P =。  …………………12分

18、解：（1）证明：在中，由题设，AD = 2可得

，于是。在矩形中，.

又，所以平面.…………………………………….4分

（2）解：由题设，，所以（或其补角）是异面直线与所成的角.

在中，由余弦定理得

由（1）知平面，平面，

所以，因而，于是是直角三角形，

故………………………….8分

（3）解：过点P做于H，过点H做于E，连结PE

平面，平面，.又，

因而平面，平面_，

又，，平面，又平面

，从而是二面角的平面角…………….12分

由题设可得，

于是在中，….14分

19、解: (1)依题意知，数列是一个以500为首项，－20为公差的等差数列，所以

，   ……………3分

＝

＝＝  …………………7分

　(Ⅱ)依题意得，，即，

可化简得， ①            …………………10分

可设，又，可知是减函数，

是增函数，   又

则时不等式①成立          …………………13分

答：从今年起该企业至少经过4年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润……………………………………………….……14分

20、（1）连接， E、F分别为、DB的中点， EF//，

又平面，EF平面，

 EF//平面………………………………………………………4分

   （2）正方体中，平面，平面

则，正方形中，，

又= B，AB、平面,

则平面，平面，所以，又EF//,

所以EF. ……………………………………………………………9分

(3)正方体的棱长为2，、分别为、DB的中点。

              ……………………………..………………14分

21、解：（1）…………………………………2分

在上是增函数，在上恒成立

即…………………………………………4分

（当且仅当时取等号）

所以  ……………………..………………6分

（2）设,则

当时，在区间上是增函数

所以的最小值为 ……………………………………………10分

当时，

因为函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，

又在上为连续函数，所以在上为增函数，

所以的最小值为

……………………………………14分