解：（1）如图①AH=AB

（2）数量关系成立.如图②，延长CB至E，使BE=DN

∵ABCD是正方形

∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°

∴Rt△AEB≌Rt△AND

∴AE=AN，∠EAB=∠NAD

∴∠EAM=∠NAM=45°

∵AM=AM

∴△AEM≌△ANM

∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高，

∴AB=AH

（3）如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，

得到△ABM和△AND

∴BM=2，DN=3，∠B=∠D=∠BAD=90°

分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCE．

由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD.                          

  设AH=x，则MC=,  NC=                             图②

在Rt⊿MCN中，由勾股定理，得

                                    

∴

解得.（不符合题意，舍去）

∴AH=6.

解：（1）如图，与互相垂直平分．          （1分）

证明如下：连结、，

∵ //，

∴四边形是平行四边形．          （2分）

⊥，

∴⊥，

∵∠=90º，为的中点，

∴，                                          （2分）

∴四边形是菱形．                                        （1分）

∴与互相垂直平分．

解：（2）设，则，．         （2分）

在Rt△中，∵，                           （1分）

∴．                                         （1分）

                         （1分）

∴．                                                 （2分）

解：（1）由抛物线C₁：得顶点P的坐标为（2，5）………….1分

∵点A（－1，0）在抛物线C₁上∴.………………2分

（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G..

∵点P、M关于点A成中心对称,

∴PM过点A，且PA＝MA..

∴△PAH≌△MAG..

∴MG＝PH＝5，AG＝AH＝3.

∴顶点M的坐标为（，5）.………………………3分

∵抛物线C₂与C₁关于x轴对称，抛物线C₃由C₂平移得到

∴抛物线C₃的表达式.  …………4分

（3）∵抛物线C₄由C₁绕x轴上的点Q旋转180°得到

∴顶点N、P关于点Q成中心对称.

 由（2）得点N的纵坐标为5.

设点N坐标为（m，5），作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，作PR⊥NG于R.

∵旋转中心Q在x轴上,

∴EF＝AB＝2AH＝6.

 ∴EG＝3，点E坐标为（，0），H坐标为（2，0），R坐标为（m，－5）.

根据勾股定理，得

     

  

       

①当∠PNE＝90º时，PN²+ NE²＝PE²，

解得m＝，∴N点坐标为（，5）

②当∠PEN＝90º时，PE²+ NE²＝PN²，

解得m＝，∴N点坐标为（，5）.

③∵PN＞NR＝10＞NE，∴∠NPE≠90º  ………7分

综上所得，当N点坐标为（，5）或（，5）时，以点P、N、E为顶点的三角形是直角三角形．…………………………………………………………………………………8分

解：（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，3）．·················· 2分

抛物线的对称轴是：x=1．······················· 3分

（2）①设直线BC的函数关系式为：y=kx+b．

把B（3，0），C（0，3）分别代入得：

解得：k= -1，b=3．

所以直线BC的函数关系式为：．

当x=1时，y= -1+3=2，∴E（1，2）．

当时，，

∴P（m，m+3）．·························· 4分

在中，当时，　

∴

当时，∴········· 5分

∴线段DE=4-2=2，线段···· 6分

∵

∴当时，四边形为平行四边形．

由解得：（不合题意，舍去）．

因此，当时，四边形为平行四边形．··········· 7分

②设直线与轴交于点，由可得：

∵························ 8分

即．

·········· 9分

解：（1）点C的坐标为.

∵ 点A、B的坐标分别为，

            ∴ 可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为.   

            将代入抛物线的解析式，得.

            ∴ 过A、B、C三点的抛物线的解析式为.

（2）可得抛物线的对称轴为，顶点D的坐标为   

，设抛物线的对称轴与x轴的交点为G.

直线BC的解析式为.

设点P的坐标为.

解法一：如图8，作OP∥AD交直线BC于点P，

连结AP，作PM⊥x轴于点M.

∵ OP∥AD，

∴ ∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD.

  ∴ ，即.

  解得.  经检验是原方程的解.

  此时点P的坐标为.

但此时，OM＜GA.

  ∵

      ∴ OP＜AD，即四边形的对边OP与AD平行但不相等，

      ∴ 直线BC上不存在符合条件的点P. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6分

            解法二：如图9，取OA的中点E，作点D关于点E的对称点P，作PN⊥x轴于

点N. 则∠PEO=∠DEA，PE=DE.

可得△PEN≌△DEG ．

由，可得E点的坐标为.

NE=EG=， ON=OE－NE=，NP=DG=.

∴ 点P的坐标为.∵ x=时，，

∴ 点P不在直线BC上.

                   ∴ 直线BC上不存在符合条件的点P .

 

（3）的取值范围是.