如图，已知斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁的侧面A₁ACC₁与底面ABC垂直，∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝，且AA₁⊥A₁C，AA₁＝A₁C．

(1)求侧面A₁ABB₁与底面ABC所成二面角的大小；

(2)求顶点C到侧面A₁ABB₁的距离；

(3)求异面直线A₁C与BC₁所成的角．

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一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．

1-5：DBADC； 6-10：BACDC； 11-12：BC.

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．

13．1或； 14．-4； 15．1； 16．6．

三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．解：（Ⅰ）∵，

∴，????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

∴．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）∵且，

∴，∴，当且仅当时取＂＝＂．??????????? 8分

∵，∴，?????????????????????????????????????????? 10分

∴，当且仅当时取＂＝＂．

故△ABC面积取最大值为．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

18．解：（Ⅰ）设袋中有黑球n个，则每次取出的一个球是黑球的概率为，       3分

设“连续取两次，都是黑球”为事件A，∴，????????????????????????????? 5分

∴，∴．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，每次取出一个球，取到红球的概率是．????????????????????????????? 7分

设“连续取4次球，取到红球恰为2次”为事件B，“连续取4次球，取到红球恰为3次”为事件C，

∴；??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

∴取到红球恰为2次或3次的概率为．

故连续取4次球，取到红球恰为2次或3次的概率等于.???????????????????????????????????? 12分

19．（Ⅰ）证明：∵四边形AA₁C₁C是菱形，∴AA₁＝A₁C₁＝C₁C＝CA＝1，∴△AA₁B是等边三角形，设O是AA₁的中点，连接BO，则BO⊥AA₁．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

∵侧面ABB₁A₁⊥AA₁C₁C，∴BO⊥平面AA₁C₁C，菱形AA₁C₁C面积为，知C到AA₁的距离为，，∴△AA₁C₁是等边三角形，且C₁O⊥AA₁，又C₁O∩BO=O．

∴AA₁⊥面BOC₁，又BC₁Ì面BOC₁．∴AA₁⊥BC₁．???????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OA、OC₁、OB两两垂直，以O为原点，建立如图空间直角坐标系，则，，，，．则，，，．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

设是平面ABC的一个法向量，

则即

令，则．设A₁到平面ABC的距离为d．

∴．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知平面ABC的一个法向量是，又平面ACC₁的一个法向量．∴．?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

∴二面角B－AC－C₁的余弦值是．???????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

20．解：（Ⅰ）证明：时，，；????????????????????????????????????????????????? 1分

时，，所以，????????????????????????????????????????? 2分

即数列是以2为首项，公差为2 的等差数列．????????????????????????????????????????????? 3分

∴，，?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

当时，，当时，．?????????????????????????????? 5分

∴ ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）当时，，结论成立．??????????????????????????????????????????????? 7分

当时，????????????????????? 8分

＝

????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

综上所述：．?????????????????????????????????????????????????????? 12分

21．解：（Ⅰ）∵，∴．比较系数得，，，．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分

∴，，，?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

，令，得或或．

x

1

2

+

0

-

0

+

0

-

ㄊ

ㄋ

ㄊ

ㄋ

∴函数有极大值，，极小值．?????????????????? 4分

∵函数在区间上存在极值，

∴或或???????????????????????????????????????????? 5分

解得或或．

故实数．??????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅲ）函数的图象与坐标轴无交点，有如下两种情况：

（?）当函数的图象与x轴无交点时，必须有：

即???????????????????????????????????????? 7分

而，函数的值域为，

∴解得．??????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

（?）当函数的图象与y轴无交点时，必须有：

即而有意义，???????? 9分

∴即解得．????????????????????????????????????????? 10分

由（?）、（?）知，p的范围是，

故实数p的取值范围是．???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

22．解：（Ⅰ）设，，，，

，，，，

．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

∵，∴，∴，∴．??????????????????????????? 4分

则N(c，0)，M(0，c)，所以，

∴，则，． ???????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

∴椭圆的方程为．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）∵圆O与直线l相切，则，即,????????????????????????????????? 7分

由消去y得．

∵直线l与椭圆交于两个不同点，设，

，

∴，，?????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

∴，

由，???????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

，．????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

．???????????????????????????????????????? 11分

（或）．

设，则，，，

∴S关于u在区间单调递增，又，，?????????????????????????????? 13分

∴．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 14分