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    (C)的渐近线方程为 (D)在区间上是减函数 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    （2013•松江区二模）已知双曲线C的中心在原点，D（1，0）是它的一个顶点，
    d
    =(1，
    		2
    )    是它的一条渐近线的一个方向向量．
    （1）求双曲线C的方程；
    （2）若过点（-3，0）任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点 （A，B都不同于点D），求
    DA
    •
    DB
    的值；
    （3）对于双曲线Γ：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0，a≠b)    ，E为它的右顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（M，N都不同于点E），且EM⊥EN，求证：直线MN与x轴的交点是一个定点．

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    （2013•松江区二模）已知双曲线C的中心在原点，D（1，0）是它的一个顶点，
    d
    =(1，
    		2
    )    是它的一条渐近线的一个方向向量．
    （1）求双曲线C的方程；
    （2）若过点（-3，0）任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点 （A，B都不同于点D），求证：
    DA
    •
    DB
    为定值；
    （3）对于双曲线Γ：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0，a≠b)    ，E为它的右顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（都不同于点E），且EM⊥EN，那么直线MN是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，说明理由．然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）．
    情形一：双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0，a≠b)    及它的左顶点；
    情形二：抛物线y2=2px（p＞0）及它的顶点；
    情形三：椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    及它的顶点．

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    （2012•嘉定区三模）已知双曲线
    x2
    2
    -
    y2
    b2
    =1(b＞0)    的左、右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线方程为y=x，点P(
    		3
    ，y0)    在该双曲线上，则
    PF1
    与
    PF2
    的夹角大小为（　　）

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    （2009•普陀区二模）已知等轴双曲线C：x2-y2=a2（a＞0）的右焦点为F，O为坐标原点． 过F作一条渐近线的垂线FP且垂足为P，|
    OP
    | =
    		2
    ．
    （1）求等轴双曲线C的方程；
    （2）假设过点F且方向向量为
    d
    =(1，2)    的直线l交双曲线C于A、B两点，求
    OA
    •
    OB
    的值；
    （3）假设过点F的动直线l与双曲线C交于M、N两点，试问：在x轴上是否存在定点P，使得
    PM
    •
    PN
    为常数．若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

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    一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．

    1-5：DBADC； 6-10：BACDC； 11-12： BC.

    二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．

    13．3； 14．-4； 15．1； 16．．

    三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．

     

    17．解：（Ⅰ）∵l1∥l2，，

    ∴，????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

    ∴，

    ∴．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

    （Ⅱ）∵且，

    ∴，∴，当且仅当时取＂＝＂．??????????? 8分

    ∵，∴，?????????????????????????????????????????? 10分

    ∴，当且仅当时取＂＝＂．

    故△ABC面积取最大值为．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

     

    18．解：（Ⅰ）ξ=3表示取出的三个球中数字最大者为3．

    ①三次取球均出现最大数字为3的概率；??????????????????????????????????????? 1分

    ②三次取球中有2次出现最大数字3的概率；???????????????????? 3分

    ③三次取球中仅有1次出现最大数字3的概率．????????????????? 5分

    ∴P(ξ=3)=P1＋P2＋P3=．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

    （Ⅱ）在ξ＝k时, 利用（Ⅰ）的原理可知：

    （k=1、2、3、4）．???????? 8分

    则ξ的概率分布列为：

    ξ

    1

    2

    3

    4

    P

    ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

    ∴ξ的数学期望Eξ=1×＋2×＋3×＋4× = ．???????????????????????????????? 12分

     

    19．（Ⅰ）证明：∵四边形AA1C1C是菱形，∴AA1＝A1C1＝C1C＝CA＝1，∴△AA1B是等边三角形，设O是AA1的中点，连接BO，则BO⊥AA1． 2分

    ∵侧面ABB1A1⊥AA1C1C，∴BO⊥平面AA1C1C，菱形AA1C1C面积为，知C到AA1的距离为，，∴△AA1C1是等边三角形，且C1O⊥AA1，又C1O∩BO=O．

    ∴AA1⊥面BOC1，又BC1Ì面BOC1．∴AA1⊥BC1．???????????????????????????????????????????? 4分

    （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OA、OC1、OB两两垂直，以O为原点，建立如图空间直角坐标系，则，，，，．则，，，．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

    设是平面ABC的一个法向量，

    则即

    令，则．设A1到平面ABC的距离为d．

    ∴．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

    （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知平面ABC的一个法向量是，又平面ACC1的一个法向量．   9分

    ∴．???????????????????????????????????????????????????????????? 11分

    ∴二面角B－AC－C1的余弦值是．???????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

     

    20．解：（Ⅰ），对称轴方程为，故函数在[0,1]上为增函数，∴．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

    当时，．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

    ∵            ①

    ∴       ②

    ②-①得，即，?????????????????????????????????????????????????? 4分

    则，∴数列是以为首项，为公比的等比数列．

    ∴，∴．?????????????????????????????????????????????????? 6分

    （Ⅱ）∵，∴．

    ∵???????????????????????????????????????????????????????? 7分

    可知：当时，；当时，；当时，．

    即?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

    可知存在正整数或6，使得对于任意的正整数n，都有成立．???????????? 12分

     

    21．解：（Ⅰ）设，，，

    ，，，

    ，，

    ．∵，

    ∴，∴，∴．??????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

    则N(c，0)，M(0，c)，所以，

    ∴，则，．

    ∴椭圆的方程为．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

    （Ⅱ）∵圆O与直线l相切，则，即,????????????????????????????????? 5分

    由消去y得．

    ∵直线l与椭圆交于两个不同点，设，

    ，

    ∴，，???????????????????????????????????????????????????????????????? 7分

    ∴，

    由，，．?????????????????? 8分

    ．???????????????????????????????????????? 9分

    （或）．

    设，则，，，

    令，则，

    ∴在时单调递增，????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

    ∴S关于μ在区间单调递增，，，

    ∴．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

    （或，

    ∴S关于u在区间单调递增，?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

    ∵，，．）????????????????????????????????????????????????????????? 12分

     

    22．解：（Ⅰ）因为，，则，     1分

    当时，；当时，．

    ∴在上单调递增；在上单调递减，

    ∴函数在处取得极大值．????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

    ∵函数在区间（其中）上存在极值，

    ∴解得．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

    （Ⅱ）不等式，即为，?????????????????????????????????????????? 4分

    记，∴，??????? 5分

    令，则，∵，∴，在上递增，

    ∴，从而，故在上也单调递增，

    ∴，

    ∴．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分

    （Ⅲ）由（Ⅱ）知：恒成立，即，??????????? 8分

    令则，????????????????????????????????????????????????????? 9分

    ∴，

    ，

    ，

    ………

    ，?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

    叠加得：

    ．???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

    则，

    ∴.????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 14分

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     


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