题目列表(包括答案和解析)
等差数列
中，已知
，
(I)求数列
的通项公式；
(Ⅱ)若
分别为等比数列
的第1项和第2项，试求数列
的通项公式及前
项和
．
已知等比数列
中，
⑴求数列的通项公式；
⑵若
分别为等差数列
的第3项和第5项，求数列的通项公式及前
项和
。
已知数列
满足
．
(1)求数列的通项公式；
(2)对任意给定的
，是否存在
（
）使
成等差数列？若存在，用
分别表示
和
（只要写出一组）；若不存在，请说明理由；
(3)证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为
．
（18分）已知数列
和
的通项公式分别为
，
（
），将集合
中的元素从小到大依次排列，构成数列
。
⑴求三个最小的数，使它们既是数列中的项，又是数列中的项；
⑵
中有多少项不是数列中的项？说明理由；
⑶求数列
的前
项和
（）。
三、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
A
B
B
D
B
D
A
B
C
B
四、填空题
13．2 14. 31 15. 
16. 2.
三、解答题
17．17．解：（Ⅰ）
．
的最小正周期
．
（Ⅱ）由
解得
∴ 
的单调递增区间为
。
18．（Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件
，“从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件
．由于事件
相互独立，且
，
，
故取出的4个球均为红球的概率是
．
（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个红球为黑球”为事件
，“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件
．由于事件
互斥，且
，
．
故取出的4个红球中恰有4个红球的概率为
．
19．（Ⅰ）取DC的中点E.
∵ABCD是边长为
的菱形,
，∴BE⊥CD.
∵
平面
, BE
平面，∴ BE.
∴BE⊥平面PDC.∠BPE为求直线PB与平面PDC所成的角.
∵BE=
，PE=
,∴
=
=
.
（Ⅱ）连接AC、BD交于点O，因为ABCD是菱形，所以AO⊥BD.
∵平面, AO平面，
∴
PD. ∴AO⊥平面PDB.
作OF⊥PB于F，连接AF，则AF⊥PB.
故∠AFO就是二面角A－PB－D的平面角.
∵AO=，OF=
，∴
=
.
20．解：（1）令
得所求增区间为
，
。
（2）要使当
时
恒成立，只要当时 
。
由（1）知
当
时，
是增函数，
；
当
时，是减函数，
；
当
时，是增函数，
由
，因此故
。
21. 证明：由
是关于x的方程
的两根得
。
，
是等差数列。
（2）由（1）知
。
。
又
符合上式，
。
（3）
①
②
①―②得 
。
。
22． （1）∵
∴
令
，∴
或
若
，
在点附近，当
时，
；当
时，
∴是函数
的极小值点，极小值为
；
在点附近，当
时，；当
时，
∴是函数的极大值点，极大值为
若
，易知，
是函数的极大值点，极大值为；
是函数的极小值点，极小值为
（2）若在
上至少存在一点
使得
成立，
则
在上至少存在一解，即
在上至少存在一解
由（1）知，
当时，函数在区间上递增，且极小值为
∴此时在上至少存在一解；
当时，函数在区间
上递增，在
上递减，
∴要满足条件应有函数的极大值
，即
综上，实数的取值范围为或。
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