题目列表(包括答案和解析)
（12分）如图：已知长方体
的底面
是边长为4的正方形，高
为
的中点
(1)求证：
(2)求二面角
的余弦值
（12分）如图：已知长方体
的底面
是边长为4的正方形，高
为
的中点，
交于
（I）求证：
；
（Ⅱ）求证：
；
（Ⅲ）求三棱锥
的体积
如图：已知长方体
的底面
是边长为
的正方形，高
，
为
的中点，
与
交于
点．
（1）求证：
平面
；
（2）求证：
∥平面
；
（3）求三棱锥
的体积．
的底面
是边长为
的正方形，高
，
为
的中点，
与
交于
点． 
平面
；
∥平面
；
的体积．
如图，已知多面体
的底面
是边长为
的正方形，
底面，
，且
．
（Ⅰ ）求多面体的体积；
（Ⅱ ）求证：平面EAB⊥平面EBC；
（Ⅲ）记线段CB的中点为K，在平面内过K点作一条直线与平面
平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明．
一、选择题（每小题5分，共50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
D
B
D
A
B
B
A
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．
； 12．
； 13．
； 14．
15．
16．1
三、解答题（本大题共6小题，共76分，以下各题为累计得分，其他解法请相应给分）
17．解（I）由题意得
即
又
（Ⅱ）
于是
又
又
又
18．解：（I）任取3个球的基本情况有（1，2，3），（1，2，3
）,(1,2,4),(1,2,5),(1,3,3)(1,3,4)
(1,3,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,3),(2,3,4),(2,3,5),(2,3,4),(2,3,5),(2
,4,5),(3,3,4),(3,3,5),(3,4,5),(3,4,5)共20种，
其中最大编号为4的有（1，2，4），（1，3，4），（1，3，4），（2，3，4），（2，3，4），
（3，3，4）共6种，所以3个球中最大编号为4的概率为
（Ⅱ）3个球中有1个编号为3的有（1，2，3），（1，2，3），（1，3，4），（1，3，5），（1，
3，4），（1，3，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，3，4），（2，3，5），（3，4，5），（3，
4，5）共12种
有2个编号为3的有（1，3，3），（2，3，3），（3，3，4），（3，3，5）共4种
所以3个球中至少有个编号为3的概率是
19．解：（I）
是长方体，
平面
，又
面，
又是正方形。
，又
，
面
（Ⅱ）
（Ⅲ）连结
有
又有上知
，
由题意得
于是可得
上的高为6
20．解：（I）
‘
又
令
，得
①若
，则当
或
时
。当
时，
在
和
内是增函数，在
内是减函数，
②若
则当
或
时，当
时，
在
和
内是增函数，在
内是减函数
（Ⅱ）当时，
在和内是增函数，
故
在
内是增函数。
由题意得
解得
当
时，在和内是增函数，在
内是增函数。
由题意得
解得
综上知实数
的取值范围为
（21）解：（1）设
的公比为
，由题意有
解得
或
（舍）
（Ⅱ）
，
是以2为首项，-1为公差的等差数列
（Ⅲ）显然
又
当
时，
当时，
当
时，
故当
或时
22．解：（I）由题意知
故
又
设椭圆中心
关于直线
的对称点为
。
于是
方程为
由
得线段的中点为（2，-1），从而的横坐标为4，
故
椭圆的方程为
（Ⅱ）由题意知直线
存在斜率，设直线的方程为
代入并
整理得
由
得
又
不合题意。
或
设点
则
由①知
直线
方程为
令
得
将
代入
整理得
再将代入计算得
直线与
轴相交于定点（1，0）
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