如图，已知曲线C₁：x²+y²=1（|x|＜1），C₂：x²=8y+1（|x|≥1），动直线l与C₁相切，与C₂相交于A，B两点，曲线C₂在A，B处的切线相交于点M．
（1）当MA⊥MB时，求直线l的方程；
（2）试问在y轴上是否存在两个定点T₁，T₂，当直线MT₁，MT₂斜率存在时，两直线的斜率之积恒为定值？若存在，求出满足的T₁，T₂点坐标；若不存在，请说明理由．

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如图，已知曲线与抛物线c₂：x²=2py（p＞0）的交点分别为A、B，曲线c₁和抛物线c₂在点A处的切线分别为l₁、l₂，且l₁、l₂的斜率分别为k₁、k₂．
（Ⅰ）当为定值时，求证k₁•k₂为定值（与p无关），并求出这个定值；
（Ⅱ）若直线l₂与y轴的交点为D（0，-2），当a²+b²取得最小值9时，求曲线c₁和c₂的方程．

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如图，已知曲线与抛物线c₂：x²=2py（p＞0）的交点分别为A、B，曲线c₁和抛物线c₂在点A处的切线分别为l₁、l₂，且l₁、l₂的斜率分别为k₁、k₂．
（Ⅰ）当为定值时，求证k₁•k₂为定值（与p无关），并求出这个定值；
（Ⅱ）若直线l₂与y轴的交点为D（0，-2），当a²+b²取得最小值9时，求曲线c₁和c₂的方程．

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已知函数f（x）=x³+x²，数列|x_n|（x_n＞0）的第一项x_n=1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f（x）在（x_n+1，f（x_n+1））处的切线与经过（0，0）和（x_n，f （x_n））两点的直线平行（如图）．
求证：当n∈N^*时，
（Ⅰ）x_n²+x_n=3x_n+1²+2x_n+1；
（Ⅱ）(

1

2

)n-1≤xn≤(

1

2

)n-2．

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一.选择题   1-5   6-10   11-12     BCDCA  DADBC  AC

二．填空题   13.  ;   14. ;    15. ; 

 16.

三、解答题

17．【解】（Ⅰ）由整理得，

即，------2分

∴，      -------5分

∵，∴。                  -------7分

【解】（Ⅱ）∵,∴最长边为，              --------8分

∵，∴，              --------10分

∴为最小边，由余弦定理得，解得，

∴，即最小边长为1                      --------12分

18．【解】（Ⅰ）∵，∴．---2分

令，得，

∵，∴，即，∴，------4分

当时，，的单调递增区间为；------5分

当时，．------6分

的单调递减区间为和．------7分

（Ⅱ）∵时，；------8分

时，；时，，------9分

∴处取得极大值－7．  ------10分

即，解得．------12分                                

19．【解】（Ⅰ）由茎叶图可求出10次记录下的有记号的红鲫鱼与中国金鱼数目的平均数均为20，故可认为池塘中的红鲫鱼与中国金鱼的数目相同，设池塘中两种鱼的总数是，则有

，                                        ------------3分

即   ，

所以，可估计水库中的红鲫鱼与中国金鱼的数量均为25000．      ------------6分

（Ⅱ）从上述对总体的估计数据获知，从池塘随机捕出1只鱼，它是中国金鱼的概率为．随机地从池塘逐只有放回地捕出5只鱼，5只鱼都是红鲫鱼的概率是，所以其中至少有一只中国金鱼的概率．------12分

20．【解】在中，，，∴．

∵，∴四边形为正方形．

       ----6分

（Ⅱ）当点为棱的中点时，平面．         ------8分

证明如下：

    如图，取的中点，连、、，

∵、、分别为、、的中点，

∴．

∵平面，平面，

∴平面．　　　　    ------10分

同理可证平面．

∵，

∴平面平面．

∵平面，∴平面．   ------12分

21．【解】（Ⅰ）法1：依题意显然的斜率存在，可设直线的方程为，

整理得 ． ①    ---------------------2分

    设是方程①的两个不同的根，

    ∴，   ②                  ----------------4分

    且，由是线段的中点，得

    ，∴．

    解得，这个值满足②式，

    于是，直线的方程为，即      --------------6分

    法2：设，，则有

          --------2分

    依题意，，∴．            ---------------------4分

∵是的中点， ∴，，从而．

直线的方程为，即．    ----------------6分

（Ⅱ）∵垂直平分，∴直线的方程为，即，

代入椭圆方程，整理得．  ③             ---------------8分

又设，的中点为，则是方程③的两根，

∴，．-----10分

到直线的距离，故所求的以线段的中点为圆心且与直线相切的圆的方程为：．-----------12分

22．【解】（Ⅰ）由求导得，

∴曲线：在点处的切线方程为，即．

此切线与轴的交点的坐标为，

∴点的坐标为．即．                -------------------2分

∵点的坐标为（），在曲线上，所以，

∴曲线：在点处的切线方程为---4分

令，得点的横坐标为．

∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列．

∴（）．     ------------------6分

（Ⅱ）∵；，

∴．---------10分

（Ⅲ）因为，所以，

所以数列的前n项和的前n项和为①，

---------12分

②，

①―②得

，

所以          ---------14分