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    17．已知某人工养殖观赏鱼池塘中养殖着大量的红鲫鱼与中国金鱼．为了估计池塘中这两种鱼的数量.养殖人员从水库中捕出了红鲫鱼与中国金鱼各1000只.给每只鱼作上不影响其存活的记号.然后放回池塘.经过一定时间.再每次从池塘中随机地捕出1000只鱼.,分类记录下其中有记号的鱼的数目.随即将它们放回池塘中．这样的记录作了10次.并将记录获取的数据做成以下的茎叶图. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    （本小题满分12分）已知某人工养殖观赏鱼池塘中养殖着大量的红鲫鱼与中国金鱼．为了估计池塘中这两种鱼的数量，养殖人员从水库中捕出了红鲫鱼与中国金鱼各1000只，给每只鱼作上不影响其存活的记号，然后放回池塘，经过一定时间，再每次从池塘中随机地捕出1000只鱼，分类记录下其中有记号的鱼的数目，随即将它们放回池塘中．这样的记录作了10次，将记录获取的数据作成如右的茎叶图.

    （Ⅰ）根据茎叶图计算有记号的红鲫鱼与中国金鱼数目的平均数，并估计池塘中的红鲫鱼与中国金鱼的数量；

    （Ⅱ）随机从池塘中逐只、有放回地捕出3只鱼，求恰好是1只中国金鱼、2只红鲫鱼的概率．

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    （本小题满分13分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.

    （Ⅰ）证明：⊥平面；

    （Ⅱ）求平面与平面所成角的余弦值；[来源:Zxxk.Com]

     

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    （本小题满分13分）

            已知某几何体的三视图如图所示，其中分别是该几何体的一个顶点P在三个投影面上的投影，分别是另四个顶点A，B，C，D的投影。

       （I）从①②两个图中选择出该几何体的直观图；

       （II）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；

       （III）设平面PAD与平面ABC的交线为，求二面角A——B的大小。

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    （本小题满分13分）

                已知，函数，记曲线在点处切线为与x轴的交点是，O为坐标原点。

       （I）证明：

       （II）若对于任意的，都有成立，求a的取值范围。

     

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    （本小题满分13分）已知圆C：过点A（3，1），且过点P（4，4）的直线PF与圆C相切并和x轴的负半轴相交于点F．

    （1）求切线PF的方程；

    （2）若抛物线E的焦点为F,顶点在原点，求抛物线E的方程。

    （3）若Q为抛物线E上的一个动点，求的取值范围．

     

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    一.选择题   1-5   6-10   BCDCA  DAABC 

    二．填空题   11. ;  12. 2 ; 13. 2236 ;   14. ;  

     15.

    三、解答题

    16.【解】（Ⅰ）由整理得，

    即，------2分

    ∴，      -------5分

    ∵，∴。                  -------7分

    （Ⅱ）∵,∴最长边为，              --------8分

    ∵，∴，              --------10分

    ∴为最小边，由余弦定理得，解得，

    ∴，即最小边长为1                      --------13分

     

    17.【解】（Ⅰ）由茎叶图可求出10次记录下的有记号的红鲫鱼与中国金鱼数目的平均数均为20，故可认为池塘中的红鲫鱼与中国金鱼的数目相同，设池塘中两种鱼的总数是，则有

    ，                                      ------------4分

    即   ，                      

    所以，可估计水库中的红鲫鱼与中国金鱼的数量均为25000．    ------------7分

    （Ⅱ）显然，，                                 -----------9分

    其分布列为

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    ---------11分

    数学期望．                                  -----------13分

     

    18.【解】（Ⅰ）∵，∴，--------2分

        要使有极值，则方程有两个实数解，

        从而△＝，∴．                        ------------4分

    （Ⅱ）∵在处取得极值，

        ∴，

    ∴．                                          ------------6分

    ∴，

    ∵，

    ∴当时，，函数单调递增，

    当时，，函数单调递减．

    ∴时，在处取得最大值，       ------------10分

    ∵时，恒成立，

    ∴，即，

    ∴或，即的取值范围是．------------13分

     

    19.【解】法一：（Ⅰ）∵，∴．

    ∵三棱柱中,平面．

    ，∴平面．

    ∵平面，∴，而，则．---------2分

    在与中，∴，--------4分

    ∴．∴．即．

    ∵，∴平面．                --------------6分

    （Ⅱ）如图，设,过作的垂线，垂足为，连，平面,为二面角的平面角．        ----------------9分

    在中，，，

    ∴，∴;

    在中，，，

    ∴，

    ∴.------------11分

    ∴在中，，．

    故锐二面角的余弦值为.

    即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． ----------13分

    法二：（Ⅰ）∵，∴．

    ∵三棱柱中平面∴．

    ∵，∴平面．

    以为坐标原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．---------------------2分

    易求得，，，，，，．-----4分

    （Ⅰ），，，

    ∵，，

    ∴，，即，．

    ∵，∴平面．                    ---------------------6分

    （Ⅱ）设是平面的法向量，由得

    取，则是平面的一个法向量．          --------------------9分

    又是平面的一个法向量，          -----------------11分

    ．

    即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．----------13分

     

    20．【解】（Ⅰ）法1：依题意，显然的斜率存在,可设直线的方程为，

    整理得 ． ①    ---------------------2分

        设是方程①的两个不同的根，

        ∴，   ②                  ----------------4分

        且，由是线段的中点，得

        ，∴．

        解得，代入②得，的取值范围是（12，+∞）．  --------------6分

        于是，直线的方程为，即      --------------7分

        法2：设，，则有

              --------2分

        依题意，，∴．                ---------------------4分

    ∵是的中点，

    ∴，，从而．

    又由在椭圆内，∴，

    ∴的取值范围是．                           ----------------6分

    直线的方程为，即．        ----------------7分

    （Ⅱ）∵垂直平分，∴直线的方程为，即，

    代入椭圆方程，整理得．  ③          -----------------9分

    又设，的中点为，则是方程③的两根，

    ∴．-----12分

    到直线的距离，故所求的以线段的中点为圆心且与直线相切的圆的方程为：．-----------14分

     

    21．【解】（Ⅰ）由求导得，

    ∴曲线：在点处的切线方程为，即．

    此切线与轴的交点的坐标为，

    ∴点的坐标为．即．                -------------------2分

    ∵点的坐标为（），在曲线上，所以，

    ∴曲线：在点处的切线方程为，---4分

    令，得点的横坐标为．

    ∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列．

    ∴（）．                                  ---------------------6分

    （Ⅱ）设、、，

    ∵

      --------9分==(定值)--------11分

     

    （Ⅲ）设、、

    则=

    =

      --------13分

    ，

    ∵为常数，∴=为定值. -----------14分

     


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