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如图，椭圆C：

x2

a2

+

y2

2

=1焦点在x轴上，左、右顶点分别为A₁、A，上顶点为B，抛物线C₁、C₂分别以A、B为焦点，其顶点均为坐标原点O．C₁与C₂相交于直线y=

2

x上一点P．
（Ⅰ）求椭圆C及抛物线C₁、C₂的方程；
（Ⅱ）若动直线l与直线OP垂直，且与椭圆C交于不同两点M、N，已知点Q(-

2

，0），求

QM

.

QN

的最小值．

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如图，椭圆C：

x2

a2

+

y2

a2-1

=1的左右顶点分别为A、B，左右焦点分别为F₁、F₂，P为以F₁、F₂为直径的圆上异于F₁、F₂的动点，直线PF₁、PF₂分别交椭圆C于M、N和D、E．
（1）证明：

AP

•

BP

为定值K；
（2）当K=-2时，问是否存在点P，使得四边形DMEN的面积最小，若存在，求出最小值和P坐标，若不存在，请说明理由．

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如图，椭圆的左、右顶点分别是，，左、右焦点分别是，，若，，成等比数列，则此椭圆的离心率为

A．

B．

C．

D．

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1．D    2．B    3．C    4．B    5．A    6．B    7．B    8．D    9．C    10．C

l1．A   12．C

13．

14．15

15．

16．

提示：

1．D    ．

2．B    视力住0．9以上的频率为，人数为．

3．C    ，且

        若，则且

        反之，若，则

4．B    ，由，得．

．

5．A    ．

6．B   

当时，，由得；

当时，；

    当时，，由．

7．B    该几何体是上面是正四棱锥，下面为正方体，体积为

．

8．D    ．

9．C    ，

，

，

，

．

10．C  

即，或．

1l．A   设．

则方程为．

过点

,

,

,

．

 12．C  画出平面区域，

圆的圆心，半径为l，

的最大值为的最小值为

．的最大值为，最小值为

13．．

    ，    ．

14．15  ；

    ；

    ．

15．

    ．

16．．

    又

17．解：（1），                          （2分）

．                            （4分）

        由余弦定理，得．                                （6分）

（2），                                 （7分）

      （9分）                               （10分）

                                         （11分）

                            （12分）

18．解：（1）的可能取值为l，2，3，4．

                                              （4分）

        ∴甲取球次数的数学期望． （6分）

（2）由题意，两人各自从自己的箱子里任取一球比颜色

共有（种）不同情形，                            （8分）

每种情形都是等可能，记甲获胜为事件A，则

                    （11分）

        所以甲获胜的概率小于乙获胜的概率，这个游戏规则不公平           （12分）

19．解：以为原点，、、所在的直线为

，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则

                    （3分）

（1），

即直线与所成角的余角的余弦值为             （6分）

（2）设

        由平面得

即   得

，即为的中点．                                 （9分）

（3）由（2）知为平面的法向量．

        设为平面的法向量，

        由即

令得，

，

即二面角的余弦值为                （12分）

（非向量解法参照给分）

20．（1）解：成等比数列，，即

又，                                         （3分）

                             （5分）

（2）证明： ．                          （6分）

        是首项为2，公差为2的等差数列，

                                         （7分）

        （当且仅当时取“=”）．                                                 ①              （9分）

     当且仅当即时取“=”．                     ②            （11分）

        又①②中等号不可能同时取到，  （12分）

21．解：（1）设．

对称轴方程．由题意恒成立，                        （2分）

在区间上单凋递增，                                （3分）

        ∴当且仅当椭圆上的点在椭圆的左、右顶点时取得最小值与最大值．（4分）

（安徽高中数学网站注：这里用椭圆第二定义根简单直观）

（2）由已知与（1）得：，

，                                  （5分）

∴椭圆的标准方程为．                                 （6分）

（3）设，联立

得．                             （7分）

则

又，（8分）

∵椭圆的右顶点为，

                                         （9分）

        解得：，且均满足，           （10分）

        当时，的方程为，直线过定点（2，0），与已知矛盾．

当时，的方程为，直线过定点（，0），       （11分）

∴直线过定点，定点坐标为（，0）．                              （12分）

22，解：（1）由题意：的定义域为，且．

，故在上是单调递增函数．          （2分）

（2）由（1）可知：

① 若，则，即在上恒成立，此时在上为增函数，

（舍去）．                       （4分）

② 若，则，即在上恒成立，此时在上为减函数，

（舍去）．                 （6分）

        ③ 若，令得，

        当时，在上为减函数，

        当时，在上为增函数，

                    （9分）

综上可知：．                                           （10分）（3）．

        又                                         （11分）

        令，

        在上是减函数，，即，

        在上也是减函数，．

        令得，∴当在恒成立时，．（14分）