题目列表(包括答案和解析)
已知数列
的前
项和为
，且
(
N*),其中
．
(Ⅰ) 求的通项公式；
(Ⅱ) 设
(
N*).
①证明： 
；
② 求证：
.
【解析】本试题主要考查了数列的通项公式的求解和运用。运用
关系式，表示通项公式，然后得到第一问，第二问中利用放缩法得到
，②由于
，
所以
利用放缩法，从此得到结论。
解：(Ⅰ)当
时，由
得
. ……2分
若存在
由
得
，
从而有
，与矛盾，所以
.
从而由得
得
. ……6分
(Ⅱ)①证明：
证法一：∵
∴
∴
∴
.…………10分
证法二：
，下同证法一.
……10分
证法三：（利用对偶式）设
，
，
则
.又
，也即
，所以
，也即
，又因为
，所以
.即
………10分
证法四：（数学归纳法）①当
时, 
,命题成立;
②假设
时,命题成立,即
,
则当
时,
即
即
故当时，命题成立.
综上可知，对一切非零自然数，不等式②成立. ………………10分
②由于，
所以，
从而
.
也即
已知数列1，1+2，2+3+4，3+4+5+6，……，则此数列的第8项的值为： 。
一、选择题(5分×12=60分)
B B D D C B B D D C A A
二、填空题(4分x 4=16分)
13．0.1
14．63
15．
16．①③
三、解答题(12分×5+14分=74分)
17．解：(1)
2分
……………………4分
∴
的最小正周期为
…………………6分(2)∵
成等比数列 ∴
∴
≥
………………………8分
∵
∴
≤
即
≤
∵
∴
≤
………………………………………………10分
18．解：(1)设
公差
由
成等比数列得
…………………1分
∴即
∴
舍去或
…………………………3分
∴
………………………………………………4分
又
………………………………………………5分
∴
………………………………………7分
(2)
………………………………………………8分
当
时，
………………………………………10分
当
时，
…………………………7分
19．解：(1)记“任取2张卡片，将卡片上的函数相加得到偶函数”为事件A，
……………………………………………………4分
(2)
可能值为
……………………………………………………………5分
…………………………10分
∴
…………………………12分
20．解：(1)连结
为正△
…1分
面
3分
面
面
即点
的位置在线段
的四等分点且靠近
处 ………………………………………6分(2)过
作
于
，连
由(1)知面
(三垂线定理)
∴
为二面角
的平面角……9分
在
中，
在
中，
∴二面角的大小为
………………………………………12分
(说明：若用空间向量解，请参照给分)
21．解：(1)设
，由
取
得
则
……………………2分
∴
…………………………12分
又∵
为定值，
则
………………5分
∵
为定值，∴
为定值。
(2)∵
，∴抛物线方程为：
设点
则
由(1)知
则
………………………………8分
又∵
过点
∴
∴
∴
………………………………9分
代入椭圆
方程得：
∴
≥
………………11分
当且仅当 即 上式取等号
∴此时椭圆的方程为：
………………………………………12分
22．解：(1)∵ 
∴
…1分
设
则
……2分
∴
在
上为减函数 又
时，
，∴
∴在上是减函数………4分(2)①∵
∴
或
时
∴
…………………………………6分
又≤
≤
对一切
恒成立
∴≤≤
……………8分
②显然当
或
时，不等式成立
…………………………9分
当
，原不等式等价于
≥
………10分
下面证明一个更强的不等式：≥
…①
即
≥
……②亦即
≥
…………………………11分
由(1) 知在
上是减函数 又
∴
……12分
∴不等式②成立，从而①成立 又
∴＞
综合上面∴
≤
≤且≤≤
时，原不等式成立 ……………………………14分
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