解：（1）如图，与互相垂直平分．          （1分）

证明如下：连结、，

∵ //，

∴四边形是平行四边形．          （2分）

⊥，

∴⊥，

∵∠=90º，为的中点，

∴，                                          （2分）

∴四边形是菱形．                                        （1分）

∴与互相垂直平分．

解：（2）设，则，．         （2分）

在Rt△中，∵，                           （1分）

∴．                                         （1分）

                         （1分）

∴．                                                 （2分）

解：（1）△AFB∽△FEC. 

证明：由题意得：∠AFE=∠D=90° 又∠B=∠C=90°

 ∴∠BAF+∠AFB=90° , ∠EFC+∠AFB=90°

∴∠BAF=∠EFC     ∴    AFB∽△FEC

（2）设EC=3x,FC=4x，则有DE=EF=5x ，∴AB=CD=3x+ 5x=8x

由△AFB∽△FEC得：     即： =  ∴BF=6x   ∴BC=BF－CF=6x+ 4x= 10x

∴在Rt△ADE中，AD=BC=10x，AE=，则有

解得（舍去）   ∴AB+BC+CD+DA=36x=36(cm)    答：矩形ABCD的周长为36cm.