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(本小题满分14分) 如图3所示，四棱锥中，底面为正方形， 平面，，，，分别为、、的中点．
（1）求证：；
（2）求二面角D－FG－E的余弦值．

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说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

      2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

      3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

B

C

D

A

D

A

C

B

８．方法1：由，得，

即．

于是，

所以．

    方法2：由，得，

即．

于是，

则（其中），再利用导数的方法求解．

二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共7小题，每小题5分，满分30分．

9．760        10．         11．2           12．

13．       14．          15．3

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

（本小题主要考查正弦定理、余弦定理、解三角形等基础知识，考查运算求解能力）

解：（1）由余弦定理，，………………………………………2分

得，…………………………………………………4分

．……………………………………………………………………………6分

（2）方法1：由余弦定理，得，………………………………8分

，………………………10分

∵是的内角，

∴．………………………………………………………12分

方法2：∵，且是的内角，

∴．………………………………………………………8分

根据正弦定理，，……………………………………………………10分

得． ……………………………………………12分

17．（本小题满分12分）

（本小题主要考查独立重复试验等基础知识，考查或然与必然的数学思想与方法，以及运算求解能力）

解：（1）设“甲射击5次，恰有3次击中目标”为事件A，则

．

答：甲射击5次，恰有3次击中目标的概率为．………………………………6分

（2）方法1：设“甲恰好射击5次后，被中止射击”为事件C，由于甲恰好射击5次后被中止射击，所以必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次与第二次至少有一次击中目标，则

．

答：甲恰好射击5次后，被中止射击的概率为．……………………………12分

方法2：设“甲恰好射击5次后，被中止射击”为事件C，由于甲恰好射击5次后被中止射击，所以必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次与第二次至少有一次击中目标，则

．

答：甲恰好射击5次后，被中止射击的概率为．……………………………12分

18．（本小题满分14分）

（本小题主要考查空间中线面关系，二面角及其平面角、坐标方法的运用等基础知识，考查数形结合的数学思想和方法，以及空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力）

（1）证法1：∵平面，平面，∴．

又为正方形，∴．

∵，∴平面．……………………………………………3分

∵平面，∴．

∵，∴．…………………………………………………………6分

证法2：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，， ，，，．

…………………………………………………4分

∵，

∴．………………………………………6分

（2）解法1：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

，，．………………………………8分

设平面DFG的法向量为，

∵

令，得是平面的一个法向量．…………………………10分

设平面EFG的法向量为，

∵

令，得是平面的一个法向量．……………………………12分

∵．

设二面角的平面角为θ，则．

所以二面角的余弦值为．………………………………………14分

解法2：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，，，．………………………………8分

过作的垂线，垂足为，

∵三点共线，∴，

∵，∴，

即，解得．

∴．…………10分

再过作的垂线，垂足为，

∵三点共线，∴，

∵，∴，

即，解得．

∴．……………………………………………12分

∴．

∵与所成的角就是二面角的平面角，

所以二面角的余弦值为．………………………………………14分

19．（本小题满分14分）

（本小题主要考查函数、微积分基本定理和导数的应用，考查综合运用数学知识分析和解决问题的能力）

解：（1）函数的定义域为，…………………………………………………1分

∵，………………………………………2分

∵，则使的的取值范围为，

故函数的单调递增区间为． ……………………………………………4分

（2）方法1：∵，

∴．…………………………6分

令，

∵，且，

由．

∴在区间内单调递减，在区间内单调递增，……………………9分

故在区间内恰有两个相异实根……12分

即解得：．

综上所述，的取值范围是．………………………………14分

方法2：∵，

∴．…………………………6分

即，

令，

∵，且，

由．

∴在区间内单调递增，在区间内单调递减．……………………9分

∵，，，

又，

故在区间内恰有两个相异实根．

                                        ……………………………………12分

即．

综上所述，的取值范围是．  ……………………………14分

20．（本小题满分14分）

（本小题主要考查椭圆的概念、椭圆的方程等基础知识，考查待定系数法、数形结合的数学思想与方法，以及运算求解能力）

解：（1）设点的坐标为，

∵，∴． ………………………………………2分

整理，得（），这就是动点M的轨迹方程．……………………4分

（2）方法1：如图，由题意知直线的斜率存在，

设的方程为（）  …… ①…………………………………5分

将①代入，

得，

………………6分

由，解得．…………………………………………………………7分

设，，则…… ② ……………………8分

令，则，即，即，且

                                                    ……………………9分

由②得，

即

．……………………………………………11分

且且．

解得且………………………………………………13分

，且．

∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是．……………14分

方法2：如图，由题意知直线的斜率存在，

设的方程为…… ①…………5分

将①代入，

整理，得，…………6分

由，解得．………………………………………………………………7分

设，，则…… ② ……………………8分

令，且．…………………………………9分

将代入②，得

∴．即．……………………………………11分

∵且，∴且．

即且．

解得且．……………………………………………13分

，且．

故△OBE与△OBF面积之比的取值范围是．……………14分

21．（本小题满分14分）

（本小题主要考查等差数列、不等式及其性质等基础知识，考查分类讨论、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力）

解：（1）由已知，（，）， …………………2分

即（，），且．

∴数列是以为首项，公差为1的等差数列．

∴．……………………………………………………………………………4分

（2）∵，∴，要使恒成立，

∴恒成立，

∴恒成立，

∴恒成立．……………………………………………………………6分

（?）当为奇数时，即恒成立，…………………………………………7分

当且仅当时，有最小值为1，

∴．………………………………………………………………………………9分

（?）当为偶数时，即恒成立，………………………………………10分

当且仅当时，有最大值，

∴．……………………………………………………………………………12分

即，又为非零整数，则．

综上所述，存在，使得对任意，都有．…………………14分