将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是

1

2

．
（1）求小球落入A袋中的概率P（A）；
（2）在容器入口处依次放入4个小球，记 ξ为落入A袋中的小球个数，试求ξ=3的概率和ξ的数学期望 Eξ；
（3）如果规定在容器入口处放入1个小球，若小球落入A袋奖10 元，若小球落入B袋罚4元，试求所得奖金数η的分布列和数学期望，并回答你是否参加这个游戏？

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一、              选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合要求的．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

D

A

A

C

B

B

C

A

二、              填空题：本大题共7小题，每小题5分，共30分．其中13～15小题是选做题，考生只能选做两题，若三题全答，则只计算前两题得分．

9．             10．             11．

12．②③                                13．，

14．，                     15．，

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16.    解：（Ⅰ）因为，，所以

    ．

因此，当，即（）时，取得最大值；

（Ⅱ）由及得，两边平方得

，即．

因此，．

17.    解：（Ⅰ）记“小球落入袋中”为事件，“小球落入袋中”为事件，则事件的对立事件为，而小球落入袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故

，

从而；

（Ⅱ）显然，随机变量，故

，

．

18.    解： 建立如图所示的空间直角坐标系，

并设，则

    （Ⅰ），，

所以，从而得

；

（Ⅱ）设是平面的

法向量，则由，及

，

得

可以取．

    显然，为平面的法向量．

    设二面角的平面角为，则此二面角的余弦值

．

19.    解：（Ⅰ）依题意，有（），化简得

（），

这就是动点的轨迹的方程；

    （Ⅱ）依题意，可设、、，则有

，

两式相减，得，由此得点的轨迹方程为

（）．

    设直线：（其中），则

，

故由，即，解之得的取值范围是．

20.    解：（Ⅰ）依题意知：直线是函数在点处的切线，故其斜率

，

所以直线的方程为．

    又因为直线与的图像相切，所以由

，

得（不合题意，舍去）；

    （Ⅱ）因为（），所以

．

当时，；当时，．

因此，在上单调递增，在上单调递减．

因此，当时，取得最大值；

（Ⅲ）当时，．由（Ⅱ）知：当时，，即．因此，有

．

21.    解：（Ⅰ），，；

（Ⅱ）依题意，得，，由此及得

，

即．

    由（Ⅰ）可猜想：（）．

    下面用数学归纳法予以证明：

    （1）当时，命题显然成立；

    （2）假定当时命题成立，即有，则当时，由归纳假设及

得，即

，

解之得

（不合题意，舍去），

即当时，命题成立．

    由（1）、（2）知：命题成立．

（Ⅲ）

        ．

令（），则，所以在上是增函数，故当时，取得最小值，即当时，．

（，）

    ，即（）

    ．

解之得，实数的取值范围为．