2．从台甲型和台乙型电视机中任意取出台，其中至少有甲型与乙型电视机

各台，则不同的取法共有(　 )

A．种　 B.种　 C.种　 D.种

1．将个不同的小球放入个盒子中，则不同放法种数有(　 )

A．　　 B．　 C．　 D．　

(17)(本小题满分10分)

已知等差数列{}中，求{}前n项和. 　 　

解析：本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能力，利用方程的思想可求解。

解：设的公差为，则　 　

即

解得

因此

(18)(本小题满分12分)设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，,，求B.

解析：本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=(负值舍掉)，从而求出B=。

解：由　　 cos(AC)+cosB=及B=π(A+C)得

　　 　　cos(AC)cos(A+C)=，

　　　　 cosAcosC+sinAsinC(cosAcosCsinAsinC)=,

　　　　 sinAsinC=.

又由=ac及正弦定理得　 　

　　　

故　　 ，

　 　或　 (舍去)，

于是　 B= 或 B=.

又由　 知或

所以 B=。　 　

(19)(本小题满分12分)　 　

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC,D、E分别为AA₁、B₁C的中点，DE⊥平面BCC₁

(Ⅰ)证明：AB=AC 　 　

(Ⅱ)设二面角A-BD-C为60°,求B₁C与平面BCD所成的角的大小

解析：本题考查线面垂直证明线面夹角的求法，第一问可取BC中点F，通过证明AF⊥平面BCC₁,再证AF为BC的垂直平分线，第二问先作出线面夹角，即证四边形AFED是正方形可证平面DEF⊥平面BDC，从而找到线面夹角求解。此题两问也可建立空间直角坐标系利用向量法求解。

解法一：(Ⅰ)取BC中点F，连接EF，则EF，从而EFDA。

连接AF，则ADEF为平行四边形，从而AF//DE。又DE⊥平面，故AF⊥平面，从而AF⊥BC，即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC。

(Ⅱ)作AG⊥BD，垂足为G，连接CG。由三垂线定理知CG⊥BD，故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角。由题设知，∠AGC=60^0..

 设AC=2，则AG=。又AB=2，BC=，故AF=。

由得2AD=，解得AD=。

故AD=AF。又AD⊥AF，所以四边形ADEF为正方形。

因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF。

连接AE、DF，设AE∩DF=H，则EH⊥DF，EH⊥平面BCD。

连接CH，则∠ECH为与平面BCD所成的角。　 　

因ADEF为正方形，AD=，故EH=1，又EC==2，

所以∠ECH=30⁰，即与平面BCD所成的角为30⁰.

解法二：

(Ⅰ)以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A-xyz。

设B(1，0，0)，C(0，b，0)，D(0，0，c)，则(1，0，2c),E(，，c).

于是=(，，0)，=(-1，b,0).由DE⊥平面知DE⊥BC， =0，求得b=1，所以　　 AB=AC。

(Ⅱ)设平面BCD的法向量则

又=(-1，1， 0)，

=(-1，0，c),故 　 　

令x=1, 则y=1, z=,=(1,1, ).

又平面的法向量=(0，1，0)

由二面角为60°知，=60°，

故　 °，求得 　 　

于是　 　，　

，

　　　　　　 °

所以与平面所成的角为30°

(20)(本小题满分12分)

某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人。现采用分层抽样(层内采用不放回简单随即抽样)从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核。

(Ⅰ)求从甲、乙两组各抽取的人数；

(Ⅱ)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；

(Ⅲ)求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率。　 　

解析：本题考查概率统计知识，要求有正确理解分层抽样的方法及利用分类原理处理事件概率的能力，第一问直接利用分层统计原理即可得人数，第二问注意要用组合公式得出概率，第三问关键是理解清楚题意以及恰有2名男工人的具体含义，从而正确分类求概率。

解：(I)由于甲、乙两组各有10名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核，则从每组各抽取2名工人。

(II)记表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则

　　　　　　　 　 　

(III)表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有名男工人，

　　　 表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有名男工人，

　　　 表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人。

　　　 与独立， ，且

故　

　　　　　

　　　　　

(21)(本小题满分12分)

设函数　　　　　　　　　　　　　　　 ，其中常数a>1

(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;

(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。　 　

解析：本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。

解： (I) 　 　

　　　 由知，当时，，故在区间是增函数；

　　　　 当时，，故在区间是减函数；

　　　　 当时，，故在区间是增函数。

　　　　 综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数。

　　 (II)由(I)知，当时，在或处取得最小值。

　　　　　　　

　　　　　　　　　　

　　　　　　　

由假设知　 　

　　　　　　 即　　 解得　 1<a<6

故的取值范围是(1，6)

(22)(本小题满分12分)

已知椭圆C:　　　　　　　　　　 的离心率为　　　 ，过右焦点F的直线l与C相交于A、B

　　　　　　

两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为

(Ⅰ)求a,b的值；

(Ⅱ)C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？

若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。

解析：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理。

解：(Ⅰ)设 当的斜率为1时，其方程为到的距离为

　　

　 故　 ， 　 　

　　　 由

　　　 得 ，=

(Ⅱ)C上存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立。

由 (Ⅰ)知C的方程为+=6. 设

　(ⅰ)

　C 成立的充要条件是， 且

整理得

故　　　 　　　　　　①

将

　 　

于是 , =,

　　　

　　 代入①解得，，此时

　　 于是=， 即 　 　

　　 因此， 当时，， ；

　当时，， 。

(ⅱ)当垂直于轴时，由知，C上不存在点P使成立。

综上，C上存在点使成立，此时的方程为

　 　

(13)设等比数列{}的前n项和为。若，则=　　 ×　　　　

答案：3

解析：本题考查等比数列的性质及求和运算，由得q³=3故a₄=a₁q³=3。

(14)的展开式中的系数为　　 ×　　　　 　 　

　 答案：6

解析：本题考查二项展开式，直接用公式展开，注意根式的化简。

(15)已知圆O：和点A(1，2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于　　 ×　　　　

　 答案： 　

解析：由题意可直接求出切线方程为y-2=(x-1)，即x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和，所以所求面积为。

(16)设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C。若圆C的面积等于，则球O的表面积等于　　 ×　　　　

　 答案：8π

解析：本题考查立体几何球面知识，注意结合平面几何知识进行运算，由

5.已知为等差数列，，则等于

　　 A. -1　 　　 B. 1 　 C. 3　 　 D.7

[解析]∵即∴同理可得∴公差∴.选B。

[答案]B

6 已知向量a = (2,1)， a·b = 10，︱a + b ︱= ，则︱b ︱=

　 (A)　　　　　　 (B)　　　 (C)5　　　　 (D)25

　 答案：C

解析：本题考查平面向量数量积运算和性质，由知(a+b)²=a²+b²+2ab=50，得|b|=5 选C。

7设则

(A)　　 (B)　　 (C)　 (D)

答案：B

解析：本题考查对数函数的增减性，由1>lge>0,知a>b,又c=lge, 作商比较知c>b,选B。

8双曲线的渐近线与圆相切，则r=

(A)　　　 (B)2　　　 (C)3　　　 (D)6

答案：A

解析：本题考查双曲线性质及圆的切线知识，由圆心到渐近线的距离等于r，可求r=

9若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为

(A)　　　 　　　(B)　　 　　　(C)　 　　　　(D) 　 　

答案：D

解析：本题考查正切函数图像及图像平移，由平移及周期性得出ω_min=

10甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有

(A)6种　　　 (B)12种　　 (C)24种　　 (D)30种

　 答案：C

解析：本题考查分类与分步原理及组合公式的运用，可先求出所有两人各选修2门的种数=36，再求出两人所选两门都相同和都不同的种数均为=6，故只恰好有1门相同的选法有24种 。

11已知直线与抛物线C:相交A、B两点，F为C的焦点。若,则k=

(A)　　　 　　　(B)　　 　　　(C)　 　　　　(D)

答案：D

解析：本题考查抛物线的第二定义，由直线方程知直线过定点即抛物线焦点(2，0)，由及第二定义知联立方程用根与系数关系可求k=。

12纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是

(A)南　　　 (B)北　　　　 (C)西　　　　 (D)下

　　　　　　　　　　 　 　

答案：B

解析：.此题用还原立体图方法直接得出结果，使上在正上方依次找到对应面即可。

第Ⅱ卷(非选择题)

本卷共10小题，共90分。

4.“”是“且”的

　　 A. 必要不充分条件 　　　 B.　 充分不必要条件

　　 C. 充分必要条件　 　　　 D. 既不充分也不必要条件

[解析]易得时必有.若时，则可能有，选A。

[答案]A

3.不等式组所表示的平面区域的面积等于

　　 A. 　　　 B.

　　 C. 　　　 D.

[解析]由可得，故_阴 =，选C。

[答案]C

2. 若集合，则是

　　 A．{1，2，3}　 　　　 B. {1，2}　

　　 C. {4，5}　 　　 D. {1，2，3，4，5}

[解析]解不等式得∵

∴,选B。

[答案]B

1. i是虚数单位，i(1+i)等于

　　 A．1+i　 　 B. -1-i　 　 C.1-i 　 D. -1+i

[解析]依据虚数运算公式可知可得，选D.

[答案]D

19．(11分)宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式:一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为的圆轨道上运行，如图17甲所示.另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图17乙所示,设每个星体的质量均为，

(1)试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期;

(2)假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少?