95. 已知：ABCD是矩形，SA⊥平面ABCD，E是SC上一点．

求证：BE不可能垂直于平面SCD．

解析：用到反证法，假设BE⊥平面SCD，

∵ AB∥CD；∴AB⊥BE．

∴ AB⊥SB，这与Rt△SAB中∠SBA为锐角矛盾．

∴ BE不可能垂直于平面SCD．

94. 已知E，F分别是正方形ABCD边AD，AB的中点，EF交AC于M，GC垂直于ABCD所在平面．

(1)求证：EF⊥平面GMC．

(2)若AB＝4，GC＝2，求点B到平面EFG的距离．

解析：第1小题，证明直线与平面垂直，常用的方法是判定定理；第2小题，如果用定义来求点到平面的距离，因为体现距离的垂线段无法直观地画出，因此，常常将这样的问题转化为直线到平面的距离问题．

解：

(1)连结BD交AC于O，

∵E，F是正方形ABCD边AD，AB的中点，AC⊥BD，

∴EF⊥AC．

∵AC∩GC＝C，

∴EF⊥平面GMC．

(2)可证BD∥平面EFG，由例题2，正方形中心O到平面EFG

93. 如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点N在BD上，点M在B₁C上，并且CM=DN.

求证:MN∥平面AA₁B₁B.

解析：本题是把证“线面平行”转化为证“线线平行”，即在平面ABB₁A₁内找一条直线与MN平行，除上面的证法外，还可以连CN并延长交直线BA于点P，连B₁P，就是所找直线，然后再设法证明MN∥B₁P.

分析二：要证“线面平行”也可转化为证“面面平行”，因此，本题也可设法过MN作一个平面，使此平面与平面ABB₁A₁平行，从而证得MN∥平面ABB₁A₁.

92. 已知：平面α∥平面β，线段AB分别交α、β于点M、N；线段AD分别交α、β于点C、D；线段BF分别交α、β于点F、E，且AM=m,BN=n,MN=p，△FMC面积=(m+p)(n+p),求：END的面积.

解析：如图，面AND分别交α、β于MC，ND，因为α∥β，

故MC∥ND，同理MF∥NE，得

∠FMC＝∠END，

∴ND∶MC＝(m+p)：m和EN∶FM＝n∶(n+p)

S_△END∶S_△FMC＝

得S_△END＝×S_△FMC

＝·(m+p)(n+p)=(m+p)²

∴△END的面积为(m+p)²平方单位.

91. 如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E在AB₁上，F在BD上，且B₁E＝BF.

求证：EF∥平面BB₁C₁C.

证法一：连AF延长交BC于M，连结B₁M.

∵AD∥BC

∴△AFD∽△MFB

∴

又∵BD＝B₁A，B₁E＝BF

∴DF＝AE

∴

∴EF∥B₁M，B₁M平面BB₁C₁C

∴EF∥平面BB₁C₁C.

证法二：作FH∥AD交AB于H，连结HE

∵AD∥BC

∴FH∥BC，BCBB₁C₁C

∴FH∥平面BB₁C₁C

由FH∥AD可得

又BF＝B₁E，BD＝AB₁

∴

∴EH∥B₁B，B₁B平面BB₁C₁C

∴EH∥平面BB₁C₁C，

EH∩FH＝H

∴平面FHE∥平面BB₁C₁C

EF平面FHE

∴EF∥平面BB₁C₁C

说明：证法一用了证线面平行，先证线线平行.证法二则是证线面平行，先证面面平行，然后说明直线在其中一个平面内.

90. 三个平面两两相交得三条直线，求证：这三条直线相交于同一点或两两平行.

已知：平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c.

求证：a、b、c相交于同一点，或a∥b∥c.

证明：∵α∩β＝a，β∩γ＝b

∴a、bβ

∴a、b相交或a∥b.

(1)a、b相交时，不妨设a∩b＝P，即P∈a，P∈b

而a、bβ，aα

∴P∈β，P∈α，故P为α和β的公共点

又∵α∩γ＝c

由公理2知P∈c

∴a、b、c都经过点P，即a、b、c三线共点.

(2)当a∥b时

∵α∩γ＝c且aα，aγ

∴a∥c且a∥b

∴a∥b∥c

故a、b、c两两平行.

由此可知a、b、c相交于一点或两两平行.

说明：此结论常常作为定理使用，在判断问题中经常被使用.

89. 已知平面、、、．其中∩=l，∩=a，∩=，a∥，∩=b，∩=，b∥

上述条件能否保证有∥？若能，给出证明，若不能给出一个反例，并添加适当的条件，保证有∥．

不足以保证∥．

如右图．

如果添加条件a与b是相交直线，那么∥．

证明如下：

a∥a∥

b∥b∥

∵ a，b是内两条相交直线，

∴ ∥．

88. 已知：直线a∥平面．求证：经过a和平面平行的平面有且仅有一个．

证：过a作平面与交于，在内作直线与相交，在a上任取一点P，在和P确定的平面内，过P作b∥．b在外，在内，

∴ b∥

而a∥

∴ a，b确定的平面过a且平行于．

∵ 过a，b的平面只有一个，

∴ 过a平行于平面的平面也只有一个

87. 已知正三棱柱ABC－A₁B₁C₁，底面边长为8，对角线B₁C=10，D为AC的中点．

(1) 求证AB₁∥平面C₁BD；

(2) 求直线AB₁到平面C₁BD的距离．

证明：(1) 设B₁C∩BC₁=O．

连DO，则O是B₁C的中点．

在△ACB₁中，D是AC中点，O是B₁C中点．

∴ DO∥AB₁，

又DO平面C₁BD，AB₁平面C₁BD，

∴ AB₁∥平面C₁BD．

解：(2) 由于三棱柱ABC－A₁B₁C₁是正三棱柱，D是AC中点，

∴ BD⊥AC，且BD⊥CC₁，

∴ BD⊥平面AC₁，

平面C₁BD⊥平面AC₁，C₁D是交线．

在平面AC₁内作AH⊥C₁D，垂足是H，

∴ AH⊥平面C₁BD，

又AB₁∥平面C₁BD，故AH的长是直线AB₁到平面C₁BD的距离．

由BC=8，B₁C=10，得CC₁=6，

在Rt△C₁DC中，DC=4，CC₁=6，

在Rt△DAH中，∠ADH=∠C₁DC

∴ ．

即AB₁到平面C₁BD的距离是．

评述：证明线面平行的关键是在平面内找出与已知直线平行的直线，如本题的DO．本题的第(2)问，实质上进行了“平移变换”，利用AB₁∥平面C₁BD，把求直线到平面的距离变换为求点A到平面的距离．

86. 已知：正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁棱长为a．

(1) 求证：平面A₁BD∥平面B₁D₁C；

(2) 求平面A₁BD和平面B₁D₁C的距离．

证明：(1) 在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，

∵ BB₁平行且等于DD₁，

∴ 四边形BB₁D₁D是平行四边形，

∴ BD∥B₁D₁，

∴ BD∥平面B₁D₁C．

同理 A₁B∥平面B₁D₁C，

又A₁B∩BD=B，

∴ 平面A₁BD∥平面B₁D₁C

解：(2) 连AC₁交平面A₁BD于M，交平面B₁D₁C于N．

AC是AC₁在平面AC上的射影，又AC⊥BD，

∴ AC₁⊥BD，

同理可证，AC₁⊥A₁B，

∴ AC₁⊥平面A₁BD，即MN⊥平面A₁BD，

同理可证MN⊥平面B₁D₁C．

∴ MN的长是平面A₁BD到平面B₁D₁C的距离，

设AC、BD交于E，则平面A₁BD与平面A₁C交于直线A₁E．

∵ M∈平面A₁BD，M∈AC₁平面A₁C，

∴ M∈A₁E．

同理N∈CF．

在矩形AA₁C₁C中，见图9－21(2)，由平面几何知识得

，

∴ ．

评述：当空间图形较为复杂时，可以分解图形，把其中的平面图形折出分析，利于清楚地观察出平面上各种线面的位置关系．证明面面平行，主要是在其中一个平面内找出两条与另一个平面平行的相交直线，或者使用反证法．