2．如右图，已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM

上一点，且GM∶GA＝1∶3.

求证：B、G、N三点共线．

证明：设＝a，＝b，＝c，则＝－a+(a+b+c)＝

－a+b+c，＝－a+b+c＝BG.∴，即B、

G、N三点共线．

1．已知向量{a，b，c}是空间的一组基底，向量{a+b，a－b，c}是空间的另一组基底，

一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1,2,3)，求在基底{a+b，a－b，c}下的坐标．

解答：设p在基底{a+b，a－b，c}下的坐标为(x, y, z)，则a+2b+3c＝x(a+b)+y(a－

b)+zc＝(x+y)a+ (x－y)b+zc，∴解得

故p在基底{a+b，a－b，c}下的坐标为(，－，3)．

10．如右图，在空间四边形SABC中，AC、BS为其对角线，O为△ABC的重心，试

证：　　　　　　　　　

(1)；(2) ．

证明：(1) ，①

，②

，③

①+②+③得.

(2) ，④

，⑤

，⑥

由(1)得：.

④+⑤+⑥得3即SO＝()．

9．求证：空间四边形对角线互相垂直的充要条件是对边平方和相等．

证明：设＝a，＝b，＝c，充分性证明：则＝a+b－c.

根据已知条件：a²+(a+b－c)²＝b²+c²，整理得：a²+a·b－a·c－b·c＝0，

即(a+b)·(a－c)＝0，因此AC⊥BD.

必要性证明：∵(a+b)·(a－c)＝0，∴a²+a·b－a·c－b·c＝0.

即a²+(a+b－c)²＝b²+c²，因此.

8．证明三个向量a＝－e₁+3e₂+2e₃，b＝4e₁－6e₂+2e₃，c＝－3e₁+12e₂+11e₃共面．

证明：若e₁、e₂、e₃共面，显然a、b、c共面；若e₁、e₂、e₃不共面，设c＝λa+μb，

即－3e₁+12e₂+11e₃＝λ(－e₁+3e₂+2e₃)+μ(4e₁－6e₂+2e₃)，

整理得－3e₁+12e₂+11e₃＝(4μ－λ)e₁+(3λ－6μ)e₂+(2λ+2μ)e₃，

由空间向量基本定理可知

解得即c＝5a+b，则三个向量共面．

7．下列命题中，正确的命题个数为________．

①；②|a|－|b|＝|a+b|是a、b共线的充要条件；③若a与b共面，

则a与b所在的直线在同一平面内；④若，则P、A、B三点共线．

答案：1

6．已知e₁、e₂、e₃为不共面向量，若a＝e₁+e₂+e₃，b＝e₁－e₂+e₃，c＝e₁+e₂－e₃，

d＝e₁+2e₂+3e₃，且d＝xa+yb+zc，则x、y、z分别为______________．

解析：由d＝xa+yb+zc得e₁+2e₂+3e₃＝(x+y+z)e₁+(x－y+z)e₂+(x+y－z)e₃，

∴解得：

答案：，－，－1

5．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是________．

①；②；

③；　 ④；

解析：∵，∴，则、、为共面向量，

即M、A、B、C四点共面．

答案：③

4．以下四个命题中正确的是(　)

A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示

B．若{a、b、c}为空间向量的一组基底，则{a+b，b+c，c+a}构成空间向量的另一组

基底

C．△ABC为直角三角形的充要条件是＝0

D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底

解析：若a+b、b+c、c+a为共面向量，则a+b＝λ(b+c)+μ(c+a)，(1－μ)a＝(λ－1)b

+(λ+μ)c，λ、μ不可能同时为1，设μ≠1，则a＝　b+c，则a、b、c为共

面向量，此与{a、b、c}为空间向量基底矛盾．

答案：B

3．P为正六边形ABCDEF外一点，O为ABCDEF的中心，则

等于(　)

A．　 　　B．3　 　　C．6　 　　D．0

答案：C