A组　 2010年高考题

14. (1)时，，

函数在区间仅有极大值点，故这个极大值点也是最大值点，

故函数在最大值是，

又，故，

故函数在上的最小值为。(4分)

　 (2)，令，则，

则函数在递减，在递增，由，，

，故函数在的值域为。

若在恒成立，即在恒成立，

只要，若要在在恒成立，即在恒成立，

只要。即的取值范围是。(8分)

　 (3)若既有极大值又有极小值，则首先必须有两个不同正根，

即 有两个不同正根。

故应满足，∴当时，

有两个不等的正根，不妨设，

由知：时，时，时，

∴当时既有极大值又有极小值．

反之，当时，有两个不相等的正根，故函数既有极大值又有极小值的充要条件。　 (12分)

13. (1)；…………(3分)

(2)假设图像在处的切线与直线平行， ，直线的斜率为，，即，，又，．从而无解，因此不存在，使，故图像不存在与直线平行的切线．…………(8分)

(3)，

①若，即或时，M应为与中最大的一个，，…………(10分)

②若时， ，……(12分)

③若时， ，

综上，…………(14分)

法二：

∴M≥

12. 解：(1)

依题意在时恒成立，即在恒成立.

则在恒成立，

即

当时，取最小值

∴的取值范围是 　　　　　　　　　　　……

　 (2)

设则列表：

	­	极大值	¯	极小值	­

_{∴极小值，极大值，}

_又　 ……

方程在[1，4]上恰有两个不相等的实数根.　　

则，　 得 　　　　　…………

　 (3)设，则

在为减函数，且故当时有.

假设则，故

从而

即，∴　　　　　　　　　　 …………

11.( 1)当时，，，，，

所以曲线在处的切线方程为；　　　　

(2)存在，使得成立，等价于：，

考察，，

					2
		-		+
		递减	极小值	递增	1

由上表可知：，

，

所以满足条件的最大整数；　　　　　　　　　　　　　

(3)对任意的，都有成立

等价于：在区间上，函数的最小值不小于的最大值，

　　　　 由(2)知，在区间上，的最大值为。

，下证当时，在区间上，函数恒成立。

当且时，，

记，，　 。

当，；当，

，

所以函数在区间上递减，在区间上递增，

，即， 所以当且时，成立，

即对任意，都有。　　　　　　　

(3)另解：当时，恒成立

等价于恒成立，记，，　 。

记，，由于，,　 所以在上递减，当时，，时，，即函数在区间上递增，在区间上递减，所以，所以.

10. (1)解法1：∵，其定义域为，　

∴．　　　　　　　　

∵是函数的极值点，∴，即．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∵，∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

经检验当时，是函数的极值点，

∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

解法2：∵，其定义域为，

∴．　　　　　　　　

令，即，整理，得．

∵，

∴的两个实根(舍去)，，……2分

当变化时，，的变化情况如下表：

	-	0	+
	减	极小值	增

依题意，，即，

∵，∴．………… 4分　　　　　　　　　　　　　　

(2)解：对任意的都有≥成立等价于对任意的都有≥．　　　　　　　　　　　　

当［1，］时，．

∴函数在上是增函数．

∴．　　　　　　　　　　　　

∵，且，．

①当且［1，］时，，

∴函数在［1，］上是增函数，

∴.

由≥，得≥，

又，∴不合题意．　　　　　　　　　　　　　　　　

②当1≤≤时，

若1≤＜，则，

若＜≤，则．

∴函数在上是减函数，在上是增函数．

∴.

由≥，得≥，

又1≤≤，∴≤≤．　 　　

③当且［1，］时，，

∴函数在上是减函数．

∴.

由≥，得≥，

又，∴．

综上所述，的取值范围为．　　　　

9. 解：(1)由得，，所以．

由得，∴的单调递增区间是；

由得，∴的单调递减区间是．　　　　　　　 …………4分

(2)由可知是偶函数．于是对任意恒成立，

等价于对任意恒成立．

①当时，恒成立；

②当时，由得，设，则

由得．

当时，，是递减函数；

当时，，是递增函数；∴，∴．

综合上可得，实数的取值范围是．　　　　　　　　　　　 …………9分

(3)，．显然，．

∴，

∴，，…………，．

由此得，……．

故…．　　　　　　　　　　　　 …………14分

8. (Ⅰ)解：…………………………………………2分

　 (Ⅱ)证明：令

　　 　　因为递减，所以递增，因此，当；

　　　　 当.所以是唯一的极值点，且是极小值点，可知的

最小值为0，因此即…………………………7分

　 (Ⅲ)解法一：，是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.

　　　　 对任意成立的充要条件是

　　　　 …………………………10分

　　　　 另一方面，由于满足前述题设中关于函数的条件，利用(II)的结果可知，的充要条件是：过点(0，)与曲线相切的直线的斜率大于，该切线的方程为

　　　　 于是的充要条件是…………………………12分

　　　　 综上，不等式对任意成立的充要条件是

　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

　　　　 显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式 ②

　　　　 有解、解不等式②得　　　　　　　　　　　　　 ③

　　　　 因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………15分

7. 解：(I)设函数则有

　　 ②

②代入①，得

设

所以，函数最多只有1个零点，

观察得 …………4分

此时，点P(1，0)。　 ………………5分

　 (II)根据(I)知，当时，两条曲线切于点P(1，0)，

此时，变化的

而是固定不变的，如果继续让对称轴向右移动，

即

解得　 ………………9分

两条曲线有两个不同的交点，当时，开口向下，

只有一个交点，显然不合题意，

所以，有　 ………………10分

　 (III)假设存在这样的m，不妨设

以S为切线的切线l₁的斜率

以T为切点的切线l₂的斜率

如果存在m，使得

即　　 ③

而且有

如果将③的两边同乘以得

　　 ⑤

∴④与⑤矛盾。

所以，不存在实数　 ………………15分

6. ⑴当时，函数，．

，

曲线在点处的切线的斜率为．

从而曲线在点处的切线方程为，

即．

⑵．

令，要使在定义域内是增函数，只需在内恒成立．

由题意，的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为，∴，

只需，即时，

∴在内为增函数，正实数的取值范围是．

⑶∵在上是减函数，

∴时，；时，，即，

①当时，，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在轴的左侧，且，所以在内是减函数．

当时，，因为，所以，，

此时，在内是减函数．

故当时，在上单调递减，不合题意；

②当时，由，

所以．

又由⑵知当时，在上是增函数，

∴，不合题意；

③当时，由⑵知在上是增函数，，

又在上是减函数，

故只需，，

而，，

即，解得，

所以实数的取值范围是．