6.有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量ξ₁、ξ₂，已知Eξ₁=Eξ₂，Dξ₁＞Dξ₂，则自动包装机________的质量较好.

7.若随机变量A在一次试验中发生的概率为p(0<p<1)，用随机变量ξ表示A在1次试验中发生的次数，则的最大值为　　　　　 .

解：随机变量ξ的所有可能取值为0，1，并且有P(ξ=1)=p，P(ξ=0)=1－p，从而Eξ=0×(1－p)+1×p=p，Dξ=(0－p)²×(1－p)+(1－p)²×p=p－p².

==2－(2p+)≤2－2

当且仅当2p=，即p=时，取得最大值2－2.

◆答案:1-3.DBC;

3.一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为

A.2.44　　　　　　　　　　　　 B.3.376　　　　　　　　　　　 C.2.376　　　　　　　　　　　 D.2.4

4. (2006福建)一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是＿＿＿。

5. (2006四川)设离散型随机变量ξ可能取的值为1，2，3，4.P(ξ＝k)＝ak+b(k=1，2，3，4),又ξ的数学期望Eξ＝3，则a+b＝__________　

1.(2005江苏)在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为(　 )

A.9.4, 0.484　　　 B．9.4, 0.016　　　 C．9.5, 0.04　　　 D．9.5, 0.016

2.设导弹发射的事故率为0.01，若发射10次，其出事故的次数为ξ，则下列结论正确的是　 (　 )

A.Eξ=0.001　　　　　　　　　　　　　　　 B.Dξ=0.099

C.P(ξ=k)=0.01^k·0.99^10－k D.P(ξ=k)=C·0.99^k·0.01^10－k

6.二项分布的期望和方差：若ξ-B(n，p)，则Eξ=np, np(1-p)

7.几何分布的期望和方差：若ξ服从几何分布g(k，p)= ，则

　，

证明:　

令 　

　，

5.会用求和符号Σ:如Eξ=x_i p_i，Dξ=(x_i－Eξ)²p_i，

3.随机变量的数学期望:　 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

则称 Eξ=x₁p₁+x₂p₂+……+x_np_n…　 为ξ的数学期望，简称期望.也叫平均数,均值.

(1)数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.

(2)期望的一个性质:E(aξ+b)=aEξ+b

(3)求期望的方法步骤：　　　 ①确定随机变量的所有取值;

②计算第个取值的概率并列表;　 ③由期望公式计算期望值。

4. 方差: Dξ=(x₁-Eξ)²p₁+(x₂-Eξ)²p₂+…+(x_n-Eξ)2p_n+…

(1) 标准差:Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作

(2)方差的性质： D(aξ+b)=a²Dξ; 　　Dξ=E(ξ²)-(Eξ)²

(3)方差的求法步骤：

①求分布列;　 ②求期望;　　 ③由公式计算方差。

随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。

2.方差及计算方法

(1)对于一组数据x₁，x₂，…，x_n，

s²=［(x₁－)²+(x₂－)²+…+(x_n－)²］

叫做这组数据的方差，而s叫做标准差.

(2)方差公式: s²=［(x₁²+x₂²+…+x_n²)－n²］

(3)当数据x₁，x₂，…，x_n中各值较大时，可将各数据减去一个适当的常数a，得到x₁′=x₁－a，x₂′=x₂－a，…，x_n′=x_n－a

则s²=［(x₁′²+x₂′²+…+x_n′²)－n］

1.平均数及计算方法

(1)对于n个数据x₁，x₂，…，x_n，=(x₁+x₂+…+x_n)叫做这n个数据的平均数，

(2)当数据x₁，x₂，…，x_n的数值较大时，可将各数据同时减去一个适当的常数a，得到x₁′=x₁－a，x₂′=x₂－a，…，x_n′=x_n－a，那么，= +a.

(3)如果在n个数据中，x₁出现f₁次，x₂出现f₂次，…，x_k出现f_k次(f₁+f₂+…+f_k=n)，那么=,叫加权平均数.

了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差.

(三)解答题：

6、(07上海19)已知函数，常数．

　　 (1)讨论函数的奇偶性，并说明理由；

(2)若函数在上为增函数，求的取值范围．

解：(1)当时，，

　　 对任意，， 为偶函数．　

　　 当时，，

　　 取，得 ，　

　　 ，

　　 　函数既不是奇函数，也不是偶函数．　

　　 (2)解法一：设，

　　 ，　

　　 要使函数在上为增函数，必须恒成立．

　　 ，即恒成立．　

　　 又，．

　　 的取值范围是．

　　 解法二：当时，，显然在为增函数．　

当时，反比例函数在为增函数，

在为增函数．　

　　 当时，同解法一．　

7、(06湖南20)对1个单位质量的含污物体进行清洗, 清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为：为, 要求清洗完后的清洁度为.　 有两种方案可供选择, 方案甲: 一次清洗;　 方案乙: 分两次清洗. 该物体初次清洗后受残留水等因素影响, 其质量变为. 设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是， 用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是， 其中是该物体初次清洗后的清洁度。

(Ⅰ)分别求出方案甲以及时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少;

(Ⅱ)若采用方案乙, 当为某固定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量, 使总用水量最小? 并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响。

解： (Ⅰ)设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z,由题设有=0.99,解得x=19.

　　　　 由得方案乙初次用水量为3, 第二次用水量y满足方程:

　　　 解得y=4,故z=4+3.即两种方案的用水量分别为19与4+3.

　 因为当,故方案乙的用水量较少.

(II)设初次与第二次清洗的用水量分别为与，类似(I)得

，(*)

于是+

　　　　　 当为定值时,,

　　　　　 当且仅当时等号成立.此时

　　　　　 将代入(*)式得

　　　　　 故时总用水量最少, 此时第一次与第二次用水量分别为

　　　　　 ,　　 最少总用水量是.

　　　　 　当,故T()是增函数(也可以用二次函数的单调性判断).这说明,随着的值的最少总用水量, 最少总用水量最少总用水量.