9.若直线m⊂平面α，则条件甲：直线l∥α是条件乙：l∥m的　　　　　　　　　 (　)

A．充分不必要条件　　　　　　 　B．必要不充分条件

C．充要条件　　　　　　　　　 　D．既不充分也不必要条件

解析：若l∥α，m⊂α，不一定有l∥m，反之，若l∥m，则l⊂α或l∥α.

答案：D

8．如图所示，ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为a的正方体，

M、N分别是下底面的棱A₁B₁，B₁C₁的中点，P是

上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P、M、N的

平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝____________.

解析：∵平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，

∴MN∥PQ.

∵M、N分别是A₁B₁、B₁C₁的中点，AP＝，

∴CQ＝，从而DP＝DQ＝，

∴PQ＝a.

答案：a

7.设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在α、β内运动时，那么所有的动点C　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．不共面

B．当且仅当A、B在两条相交直线上移动时才共面

C．当且仅当A、B在两条给定的平行直线上移动时才共面

D．不论A、B如何移动都共面

解析：根据平行平面的性质，不论A、B如何运动，动点C均在过C且与α，β都平行的平面上．

答案：D

6．如图，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，O为底面ABCD

的中心，P是DD₁的中点，设Q是CC₁上的点，问：

当点Q在什么位置时，平面D₁BQ∥平面PAO?

解：当Q为CC₁的中点时，平面D₁BQ∥平面PAO.

∵Q为CC₁的中点，P为DD₁的中点，∴QB∥PA.

连结DB.∵P、O分别为DD₁、DB的中点，

∴D₁B∥PO.又D₁B⊄平面PAO，QB⊄平面 PAO，

∴D₁B∥面PAO，QB∥面PAO，

又D₁B∩QB＝B，

∴平面D₁BQ∥平面PAO.

5.(2009·福建高考)设m，n是平面α内的两条不同直线；l₁，l₂是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．m∥β且l₁∥α 　　　　　　　　　B．m∥l₁且n∥l₂

C．m∥β且n∥β　 　　　　　　　　　D．m∥β且n∥l₂

解析：∵m∥l₁且n∥l₂，又l₁与l₂是平面β内的两条相交直线，

∴α∥β，而当α∥β时不一定推出m∥l₁且n∥l₂.

答案：B

4．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面

ABCD外的一点，则在四棱锥P－ABCD中，M是PC

的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平

面BDM于GH.

求证：AP∥GH.

证明：连结AC，交BD于O，连结MO.

因为四边形ABCD是平行四边形，

所以O是AC的中点，

又因为M是PC的中点，

所以MO∥PA.

又因为MO⊂平面BDM，PA⊄平面BDM，

所以PA∥平面BDM.又因为经过PA与点G的平面交平面BDM于GH，

所以AP∥GH.

3．在△ABC中，AB＝5，AC＝7，∠A＝60°，G为重心，过G的平面α与BC平行，AB∩α＝M，AC∩α＝N，则MN＝________.

解析：如图，在△ABC中，由余弦定理知BC＝，

∵BC∥α，∴MN∥BC，

又G是△ABC的重心，

∴MN＝BC＝.

答案：

2．(2010·福州模拟)已知平面α、β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β.为使m∥β，应选择下面四个选项中的　　　　　　　　 　　(　)

A．①④　 　　　　B．①⑤　　　　　 C．②⑤ 　　　　　D．③⑤

解析：当m⊂α，α∥β时，有m∥β.

答案：D

1.一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是(　)

A．异面　 　　　　B．相交　　　　　 C．平行　 　　　　　D．不确定

解析：由线面平行的性质定理容易推出该直线与交线平行．

答案：C

9．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，

3AD＝DC＝3，AB＝2，E是DC上的点，且满足

DE＝1，连结AE，将△DAE沿AE折起到△D₁AE

的位置，使得∠D₁AB＝60°，设AC与BE的交点为O.

(1)试用基向量，，表示向量；

(2)求异面直线OD₁与AE所成角的余弦值；

(3)判断平面D₁AE与平面ABCE是否垂直？并说明理由．

解：(1)∵AB∥CE，AB＝CE＝2，

∴四边形ABCE是平行四边形，∴O为BE的中点．

∴＝－＝－(+)

＝－－.

(2)设异面直线OD₁与AE所成的角为θ，

则cosθ＝|cos〈，〉|＝||，

∵·＝(－－)·

＝·－·－||²

＝1××cos45°－×2××cos45°－×()²

＝－1，

||＝ ＝，

∴cosθ＝||＝||＝.

故异面直线OD₁与AE所成角的余弦值为.

(3)平面D₁AE⊥平面ABCE.证明如下：

取AE的中点M，则＝－＝－，

∴·＝(－)·

＝||²－·

＝×()²－1××cos45°＝0.

∴⊥.∴D₁M⊥AE.

∵·＝(－)·

＝·－·

＝××2×cos45°－1×2×cos60°＝0，

∴⊥，∴D₁M⊥AB.

又AE∩AB＝A，AE、AB⊂平面ABCE，

∴D₁M⊥平面ABCE.

∵D₁M⊂平面D₁AE，

∴平面D₁AE⊥平面ABCE.