6．不等式(x－2y+1)(x+y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

解析：(x－2y+1)(x+y－3)≤0⇔或

答案：C

5．过点(1,3)作直线l，若l过点(a,0)与(0，b)，且a，b∈N^*，则可作出的直线l的条数为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 (　)

A．1条 　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 B．2条

C．3条　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．多于3条

解析：因为+＝1，且a，b∈N^*，

所以或.故选B.

答案：B

4．直线(a+1)x－y+1－2a＝0与直线(a²－1)x+(a－1)y－15＝0平行，则实数a的值为

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．1　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．－1,1

C．－1　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．0

解析：将－1,1,0分别代入两直线方程检验得a＝－1符合题意．

答案：C

3．已知两直线x+ay+1＝0与ax－y－3＝0垂直，则a的取值的集合是　　　　　 (　)

A．{－1,1}　　　　　　　　 B．{x|x≠0}

C．R　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．Ø

解析：当a＝0时，两直线为x＝－1或y＝－3，则两直线垂直，当a≠0时，两直线的斜率分别为－和a，又－×a＝

－1，则两直线垂直，故a的取值的集合是R，选C.

答案：C

2．若点P(x₀，y₀)在直线Ax+By+C＝0上，则直线方程可表示为　　　　　　　　　　 (　)

A．A(x－x₀)+B(y－y₀)＝0

B．A(x－x₀)－B(y－y₀)＝0

C．B(x－x₀)+A(y－y₀)＝0

D．B(x－x₀)－A(y－y₀)＝0

解析：依题意得Ax₀+By₀+C＝0，即C＝－Ax₀－By₀，代入直线方程得Ax+By－Ax₀－By₀＝0，故直线方程为A(x－x₀)+B(y－y₀)＝0，选A.

答案：A

1．若a+b＝0，则直线y＝ax+b的图象可能是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

解析：由a+b＝0得a＝－b，直线在x轴上的截距为－＝1，故选D.

答案：D

22．(14分)

　(2009·北京东城模拟)如图17所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA＝2，E为PD中点．

图17

　(1)求证：PA⊥平面ABCD；

(2)求二面角E－AC－D的大小；

(3)在线段BC上是否存在点F，使得点E到平面PAF的距离为？若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由．

解：(1)证明：∵底面ABCD为正方形，∴BC⊥AB，又BC⊥PB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PA.

同理CD⊥PA，

∴PA⊥平面ABCD.

　(2)建立如图18所示的空间直角坐标系A－xyz，

图18

则A(0,0,0)，C(2,2,0)、E(0,1,1)．

设m＝(x，y，z)为平面AEC的一个法向量．

则m⊥，m⊥.

又＝(0,1,1)，＝(2,2,0)，

∴

令x＝1，则y＝－1，z＝1，得m＝(1，－1,1)

又＝(0,0,2)是平面ACD的一个法向量，

设二面角E－AC－D的大小为θ，则

cosθ＝cos?m，?＝AP,\s\up6(→\s\up7(　＝＝.

∴二面角E－AC－D的大小为arccos.

(3)设F(2，t,0)(0≤t≤2)，n＝(a，b，c)为平面PAF的一个法向量，则n⊥，n⊥.

又＝(0,0,2)，＝(2，t,0)，∴

令a＝t，则b＝－2，c＝0，

得n＝(t，－2,0)．

又＝(0,1,1)．

∴点E到平面PAF的距离为＝，

∴＝，解得t＝1，即F(2,1,0)．

∴在线段BC上存在点F，且F为BC中点，使得点E到平面PAF的距离为.

21．(12分)(2009·唐山二模)如图15，已知三棱柱ABC－A₁B₁C₁的侧棱与底面所成的角为60°，AB＝BC，A₁A＝A₁C＝2，AB⊥BC，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC.

(1)证明：A₁B⊥A₁C₁；

(2)求二面角A－CC₁－B的大小；

(3)求经过A₁、A、B、C四点的球的表面积．

图15

图16

解：取AC中点为O，由A₁A＝A₁C，AB＝BC，知A₁O⊥AC，BO⊥AC，又平面AA₁C₁C⊥平面ABC，所以A₁O⊥OB.

建立如图16所示的坐标系O－xyz，则A(0，－1,0)，

B(1,0,0)，A₁(0,0，)，C(0,1,0)．

(1)∵＝(1,0，－)，＝＝(0,2,0)，

∴·＝0，∴A₁B⊥A₁C₁.

(2)设n＝(x，y，z)为面BCC₁的一个法向量．

∵＝(－1,1,0)，＝＝(0,1，)，

又n·＝n·＝0，

∴取n＝(，，－1)．

又m＝(1,0,0)是面ACC₁的法向量，

cos?m，n?＝＝＝.

由点B在平面ACC₁内的射影O在二面角的面ACC₁内，知二面角A－CC₁－B为锐角，

所以二面角A－CC₁－B的大小为arccos.

(3)设球心为O₁，因为O是△ABC的外心，A₁O⊥平面ABC，

所以点O₁在A₁O上，则O₁是正三角形A₁AC的中心．

则球半径R＝A₁A＝，球表面积S＝4πR²＝π.

20．(12分)在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB₁⊥BC₁，AB＝CC₁＝a，BC＝b.

(1)设E，F分别为AB₁，BC₁的中点，求证：EF∥平面ABC；

(2)求证：A₁C₁⊥AB；

(3)求点B₁到平面ABC₁的距离．

图14

解：(1)∵E，F分别为AB₁，BC₁的中点，∴EF∥A₁C₁.

∵A₁C₁∥AC，

∴EF∥AC，∴EF∥平面ABC.

(2)∵AB＝CC₁，∴AB＝BB₁.

又三棱柱为直三棱柱，

∴四边形ABB₁A₁为正方形，

连结A₁B，则A₁B⊥AB₁.

又∵AB₁⊥BC₁，∴AB₁⊥平面A₁BC₁，∴AB₁⊥A₁C₁.

又A₁C₁⊥AA₁，∴A₁C₁⊥平面A₁ABB₁，∴A₁C₁⊥AB.

(3)∵A₁B₁∥AB，∴A₁B₁∥平面ABC₁，

∴A₁到平面ABC₁的距离等于B₁到平面ABC₁的距离，过A₁作A₁G⊥AC₁于G.

∵AB⊥平面ACC₁A₁，∴AB⊥A₁G，

从而A₁G⊥平面ABC₁，故A₁G即为所求的距离，

求得A₁G＝.

19．(12分)(2009·湖北联考)如图13，长方体AC₁中，AB＝2，BC＝AA₁＝1.E、F、G分别为棱DD₁、D₁C₁、BC的中点．

(1)试在底面A₁B₁C₁D₁上找一点H，使EH∥平面FGB₁；

(2)求四面体EFGB₁的体积．

图13

解：(1)取A₁D₁的中点P，D₁P的中点H，连接DP、EH，则DP∥B₁G，EH∥DP，∴EH∥B₁G，又B₁G⊂平面FGB₁，∴EH∥平面FGB₁.

即H在A₁D₁上，且HD₁＝A₁D₁时，EH∥平面FGB₁.