91. 如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E在AB₁上，F在BD上，且B₁E＝BF.

求证：EF∥平面BB₁C₁C.

证法一：连AF延长交BC于M，连结B₁M.

∵AD∥BC

∴△AFD∽△MFB

∴

又∵BD＝B₁A，B₁E＝BF

∴DF＝AE

∴

∴EF∥B₁M，B₁M平面BB₁C₁C

∴EF∥平面BB₁C₁C.

证法二：作FH∥AD交AB于H，连结HE

∵AD∥BC

∴FH∥BC，BCBB₁C₁C

∴FH∥平面BB₁C₁C

由FH∥AD可得

又BF＝B₁E，BD＝AB₁

∴

∴EH∥B₁B，B₁B平面BB₁C₁C

∴EH∥平面BB₁C₁C，

EH∩FH＝H

∴平面FHE∥平面BB₁C₁C

EF平面FHE

∴EF∥平面BB₁C₁C

说明：证法一用了证线面平行，先证线线平行.证法二则是证线面平行，先证面面平行，然后说明直线在其中一个平面内.

90. 三个平面两两相交得三条直线，求证：这三条直线相交于同一点或两两平行.

已知：平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c.

求证：a、b、c相交于同一点，或a∥b∥c.

证明：∵α∩β＝a，β∩γ＝b

∴a、bβ

∴a、b相交或a∥b.

(1)a、b相交时，不妨设a∩b＝P，即P∈a，P∈b

而a、bβ，aα

∴P∈β，P∈α，故P为α和β的公共点

又∵α∩γ＝c

由公理2知P∈c

∴a、b、c都经过点P，即a、b、c三线共点.

(2)当a∥b时

∵α∩γ＝c且aα，aγ

∴a∥c且a∥b

∴a∥b∥c

故a、b、c两两平行.

由此可知a、b、c相交于一点或两两平行.

说明：此结论常常作为定理使用，在判断问题中经常被使用.

89. 已知平面、、、．其中∩=l，∩=a，∩=，a∥，∩=b，∩=，b∥

上述条件能否保证有∥？若能，给出证明，若不能给出一个反例，并添加适当的条件，保证有∥．

不足以保证∥．

如右图．

如果添加条件a与b是相交直线，那么∥．

证明如下：

a∥a∥

b∥b∥

∵ a，b是内两条相交直线，

∴ ∥．

88. 已知：直线a∥平面．求证：经过a和平面平行的平面有且仅有一个．

证：过a作平面与交于，在内作直线与相交，在a上任取一点P，在和P确定的平面内，过P作b∥．b在外，在内，

∴ b∥

而a∥

∴ a，b确定的平面过a且平行于．

∵ 过a，b的平面只有一个，

∴ 过a平行于平面的平面也只有一个

87. 已知正三棱柱ABC－A₁B₁C₁，底面边长为8，对角线B₁C=10，D为AC的中点．

(1) 求证AB₁∥平面C₁BD；

(2) 求直线AB₁到平面C₁BD的距离．

证明：(1) 设B₁C∩BC₁=O．

连DO，则O是B₁C的中点．

在△ACB₁中，D是AC中点，O是B₁C中点．

∴ DO∥AB₁，

又DO平面C₁BD，AB₁平面C₁BD，

∴ AB₁∥平面C₁BD．

解：(2) 由于三棱柱ABC－A₁B₁C₁是正三棱柱，D是AC中点，

∴ BD⊥AC，且BD⊥CC₁，

∴ BD⊥平面AC₁，

平面C₁BD⊥平面AC₁，C₁D是交线．

在平面AC₁内作AH⊥C₁D，垂足是H，

∴ AH⊥平面C₁BD，

又AB₁∥平面C₁BD，故AH的长是直线AB₁到平面C₁BD的距离．

由BC=8，B₁C=10，得CC₁=6，

在Rt△C₁DC中，DC=4，CC₁=6，

在Rt△DAH中，∠ADH=∠C₁DC

∴ ．

即AB₁到平面C₁BD的距离是．

评述：证明线面平行的关键是在平面内找出与已知直线平行的直线，如本题的DO．本题的第(2)问，实质上进行了“平移变换”，利用AB₁∥平面C₁BD，把求直线到平面的距离变换为求点A到平面的距离．

86. 已知：正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁棱长为a．

(1) 求证：平面A₁BD∥平面B₁D₁C；

(2) 求平面A₁BD和平面B₁D₁C的距离．

证明：(1) 在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，

∵ BB₁平行且等于DD₁，

∴ 四边形BB₁D₁D是平行四边形，

∴ BD∥B₁D₁，

∴ BD∥平面B₁D₁C．

同理 A₁B∥平面B₁D₁C，

又A₁B∩BD=B，

∴ 平面A₁BD∥平面B₁D₁C

解：(2) 连AC₁交平面A₁BD于M，交平面B₁D₁C于N．

AC是AC₁在平面AC上的射影，又AC⊥BD，

∴ AC₁⊥BD，

同理可证，AC₁⊥A₁B，

∴ AC₁⊥平面A₁BD，即MN⊥平面A₁BD，

同理可证MN⊥平面B₁D₁C．

∴ MN的长是平面A₁BD到平面B₁D₁C的距离，

设AC、BD交于E，则平面A₁BD与平面A₁C交于直线A₁E．

∵ M∈平面A₁BD，M∈AC₁平面A₁C，

∴ M∈A₁E．

同理N∈CF．

在矩形AA₁C₁C中，见图9－21(2)，由平面几何知识得

，

∴ ．

评述：当空间图形较为复杂时，可以分解图形，把其中的平面图形折出分析，利于清楚地观察出平面上各种线面的位置关系．证明面面平行，主要是在其中一个平面内找出两条与另一个平面平行的相交直线，或者使用反证法．

85. 已知直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC=BC，M、N分别是A₁B₁，AB的中点，P点在线段B₁C上，则NP与平面AMC₁的位置关系是　　　 (　　 )

(A) 垂直

(B) 平行

(C) 相交但不垂直

(D) 要依P点的位置而定

解析：由题设知B₁M∥AN且B₁M=AN，

四边形ANB₁M是平行四边形，

故B₁N∥AM，B₁N∥AMC₁平面．

又C₁M∥CN，得CN∥平面AMC₁，则平面B₁NC∥AMC₁，NP平面B₁NC，

∴ NP∥平面AMC₁．

答案选B．

84. 已知a、b、c是三条不重合的直线，α、β、r是三个不重合的平面，下面六个命题：

①a∥c，b∥ca∥b；

②a∥r，b∥ra∥b；

③α∥c，β∥cα∥β；

④α∥r，β∥rα∥β；

⑤a∥c，α∥ca∥α；

⑥a∥r，α∥ra∥α．

其中正确的命题是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

(A) ①④　　　　　　　　　　　　　 (B) ①④⑤

(C) ①②③　　　　　　　　　　　　 (D) ①⑤⑥

解析：由公理4“平行于同一条直线的两条直线互相平行”可知命题①正确；若两条不重合的直线同平行于一个平面，它们可能平行，也可能异面还可能相交，因此命题②错误；平行于同一条直线的两个不重合的平面可能平行，也可能相交，命题③错误；平行于同一平面的两个不重合的平面一定平行，命题④正确；若一条直线和一个平面分别平行于同一条直线或同一个平面，那么这条直线与这个平面或平行，或直线在该平面内，因此命题⑤、⑥都是错的，答案选A．

83. 已知：a、b是异面直线，a平面，b平面，a∥，b∥．

求证：∥．

证法1：在a上任取点P，

显然P∈b．

于是b和点P确定平面．

且与有公共点P

∴ ∩＝b′

且b′和a交于P，

∵ b∥，

∴ b∥b′

∴ b′∥

而a∥

这样内相交直线a和b′都平行于

∴ ∥．

证法2：设AB是a、b的公垂线段，

过AB和b作平面，

∩＝b′，

过AB和a作平面，

∩＝a′．

a∥a∥a′

b∥b∥b′

∴AB⊥aAB⊥a′，AB⊥bAB⊥b′

于是AB⊥且AB⊥，∴ ∥．

82. 两个平面同时垂直于一条直线，则两个平面平行．

已知：、是两个平面，直线l⊥，l⊥，垂足分别为A、B．

求证：∥思路1：根据判定定理证．

证法1：过l作平面，

∩＝AC，∩＝BD，

过l作平面，

∩＝AE，∩＝BF，

l⊥l⊥AC

l⊥l⊥BD　　　 AC∥BDAC∥，

l、AC、BD共面

同理AE∥，AC∩AE≠，AC，AE，故∥．

思路2：根据面面平行的定义，用反证法．

证法2：设、有公共点P

则l与P确定平面，

且∩＝AP，∩＝BP．

l⊥l⊥AP

l⊥l⊥BP

l、AP、BP共面，于是在同一平面内过一点有两条直线AP、BP都与l垂直，这是不可能的．

故、不能有公共点，∴ ∥．