2．分类

(1)国际人口迁移

(2)国内人口迁移(以我国为例)

1．概念:

15．已知函数f(x)＝(m∈R，e＝2.71828…是自然对数的底数)．

(1)求函数f(x)的极值；

(2)当x>0时，设f(x)的反函数为f^－1(x)，对0<p<q，试比较f(q－p)、f^－1(q－p)及f^－1(q)－f^－1(p)的大小．

解：(1)当x>0，f(x)＝e^x－1在(0，+∞)上单调递增，且f(x)＝e^x－1>0；

当x≤0时，f(x)＝x³+mx²，此时f′(x)＝x²+2mx＝x(x+2m)．

①若m＝0，f′(x)＝x²≥0，则f(x)＝x³，在(－∞，0]上单调递增，且f(x)＝x³≤0.

又f(0)＝0，可知函数f(x)在R上单调递增，无极值．

②若m<0，令f′(x)＝x(x+2m)>0

⇒x<0或x>－2m(舍去)．

函数f(x)＝x³+mx²在(－∞，0]上单调递增，

同理，函数f(x)在R上单调递增，无极值．

③若m>0，令f′(x)＝x(x+2m)>0⇒x>0或x<－2m.

函数f(x)＝x³+mx²在(－∞，－2m]上单调递增，在(－2m,0]上单调递减．

此时函数f(x)在x＝－2m处取得极大值：f(－2m)＝m³+4m³＝m³>0；

又f(x)在(0，+∞)上单调递增，故在x＝0处取得极小值：f(0)＝0.

综上可知，当m>0时，f(x)的极大值为m³，极小值为0；当m≤0时，f(x)无极值．

(2)当x>0时，设y＝f(x)＝e^x－1⇒y+1＝e^x⇒x＝ln(y+1)．

∴f^－1(x)＝ln(x+1)(x>0)．

(ⅰ)比较f(q－p)与f^－1(q－p)的大小．

记g(x)＝f(x)－f^－1(x)＝e^x－ln(x+1)－1(x>0)．

∵g′(x)＝e^x－在(0，+∞)上是单调递增函数，

∴g′(x)>g′(0)＝e⁰－＝0恒成立．

∴函数g(x)在(0，+∞)上单调递增．

∴g(x)>g(0)＝e⁰－ln(0+1)－1＝0.

当0<p<q时，有q－p>0，

∴g(q－p)＝e^q－p－ln(q－p+1)－1>0.

∴e^q－p－1>ln(q－p+1)，即f(q－p)>f^－1(q－p)．①

(ⅱ)比较f^－1(q－p)与f^－1(q)－f^－1(p)的大小．

ln(q－p+1)－[ln(q+1)－ln(p+1)]

＝ln(q－p+1)－ln(q+1)+ln(p+1)

＝ln

＝ln

＝ln

＝ln

＝ln[+1]．

∵0<p<q，∴+1>1，故ln[+1]>0.

∴ln(q－p+1)>ln(q+1)－ln(p+1)，

即f^－1(q－p)>f^－1(q)－f^－1(p)．②

∴由①②可知，当0<p<q时，有f(q－p)>f^－1(q－p)>f^－1(q)－f^－1(p)．

14．已知定义在R上的函数f(x)的反函数为f^－1(x)，且函数f(x+1)的反函数恰为y＝f^－1(x+1)．若f(1)＝3999，求f(2010)的值．

解：∵y＝f^－1(x+1)，

∴f(y)＝f[f^－1(x+1)]．

∴x＝f(y)－1.

∴y＝f^－1(x+1)的反函数为y＝f(x)－1.

∵f(x+1)的反函数为y＝f^－1(x+1)．

∴f(x+1)＝f(x)－1.

∴{f(n)}是以3999为首项，－1为公差的等差数列，

∴f(2010)＝3999－(2010－1)＝1990.

13．已知函数f(x)＝a+b^x－1(b>0，b≠1)的图象经过点A(1,3)，函数y＝f^－1(x+a)的图象经过点B(4,2)，试求f^－1(x)的表达式．

解：由f(x)＝a+b^x－1(b>0，b≠1)得，

x－1＝log_b(y－a)．

∵b^x－1>0，则a+b^x－1>a，

∴y>a，∴f^－1(x)＝1+log_b(x－a)(x>a)，

∴f^－1(x+a)＝1+log_bx(x>0)．

∵点A在f(x)的图象上，点B在f^－1(x+a)的图象上，

∴解得

∴f^－1(x)的表达式为f^－1(x)＝log₄(x－2)+1(x>2)．

12．求下列函数的反函数

(1)y＝(x<－1)；

(2)y＝－(x≥1)；

(3)y＝x|x|+2x.

解：(1)y＝＝2+，在x<－1时为减函数，

存在反函数，原函数值域为{y|－<y<2}．

又由y＝，得x＝，

故反函数为y＝(－<x<2)．

(2)∵x≥1，∴y＝－≤0.

由y＝－，得y²＝x²－1，∴x²＝1+y²，

∵x≥1，∴x＝(y≤0)．

∴f^－1(x)＝(x≤0)．

(3)当x≥0时，y＝x²+2x，即(x+1)²＝y+1，

∴x＝－1+(y≥0)．

当x<0时，y＝－x²+2x，即1－y＝(x－1)².

∴x＝

∴所求反函数为

y＝

11．(2009·湖北五市联考)函数f(x)＝的反函数为f^－1(x)，则f^－1(18)＝________.

答案：4

解析：设f^－1(18)＝m，∴f(m)＝18，∴x²+2＝18，得x＝±4，又x≥0，∴x＝4.

10．已知y＝f(x)在定义域(0，+∞)内存在反函数，且f(x－1)＝x²－2x+1，则f^－1(7)＝__________.

答案：

解析：设x－1＝t，则x＝1+t，所以f(t)＝(t+1)²－2(t+1)+1＝t²，即f(x)＝x²(x>0)，设f^－1(7)＝a，则f(a)＝a²＝7，故a＝.

9．(2009·成都模拟)设函数f(x)＝e^2(x－1)，y＝f^－1(x)为y＝f(x)的反函数，若函数g(x)＝则g[g(－1)]＝__________.

答案：1

解析：依题意得g(－1)＝－1+2＝1，g[g(－1)]＝g(1)＝f^－1(1)．设f^－1(1)＝t，则有f(t)＝1，即e^2(t－1)＝1，t＝1，所以g[g(－1)]＝1.

8．(2009·湖北八校联考)已知函数f(x)＝(e^x+e^x－2)(x<1)(其中e是自然对数的底数)的反函数为f^－1(x)，则有(　)

A．f^－1()<f^－1()　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．f^－1()>f^－1()

C．f^－1()<f^－1(2)　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．f^－1()>f^－1(2)

答案：A

解析：∵函数f(x)＝(e^x+e^x－2)＝e^x是一个单调递增函数，∴f^－1(x)在(0，+∞)上也是单调递增函数．

又∵x<1，∴f(x)＝e^x<e＝.

－2＝＝，∵2<e<3，∴0<e－2<1，∴(e－2)²－3<0，∴<2；

－＝＝，

∵2.7<e<2.8，∴1.2<e－<1.3，

∴(e－)²－>0，∴>，∴<<2.

∴在x<1时，函数f(x)＝(e^x+e^x－2)的值域为(0，)，其中<<2，故选A.