(1)证明：∵=2(+)∴A₁E∥平面BDC₁                                         …6分

=(2,8, 2).                                                   

=(－4,－8, 0), =(－2,0, 2),=(0,8,0),

=(－4,－4,0), =(－2,4,2),=(－3,0, ),

【方法二】建立如图所示的空间直角坐标系，题意知B(－2,0,0),

D(2,40),A₁(2,8,0), C₁(0,8,2)，B₁(－2,8,0), E(－1,8,),

∴A₁E∥FD，又A₁E平面BDC₁，FD平面BDC₁

∴A₁E∥平面BDC₁                              …6分

(2)由A₁E⊥B₁C₁，A₁E⊥CC₁，得A₁E⊥平面CBB₁C₁，过点E作

EH⊥BC₁于H，连结A₁H，则∠A₁HE为二面角A₁－BC₁－B₁的平面角        …8分

在Rt△BB₁C₁中，由BB₁=8，B₁C₁=4，得BC₁边上的高为，∴EH=，

又A₁E=2,∴tan∠A₁HE==＞∴∠A₁HE＞60°，                    …11分

∴M在棱AA₁上时，二面角M－BC₁－B₁总大于60°，故棱AA₁上不存在使二面角M－BC₁－B₁的大小为60°的点M.                                                    …12分

18．【方法一】(1)证明：在线段BC₁上取中点F，连结EF、DF

则由题意得EF∥DA₁，且EF=DA₁，

∴四边形EFDA₁是平行四边形

∴当时取得最大值，即，解得或（舍去），则当时，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率最大.         …6分

(2)由(1)可知：记上0号的有10个红球，从中任取一球，有20种取法，它们是等可能的故ξ的分布列是

ξ

0

1

2

3

4

P

…8分

Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=                                      …10分

Dξ=(0－)²×+(1－)²×+(2－)²×+(3－)²×+(4－)²× =       …12分

设每次摸奖中奖的概率为p，三次摸奖中（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是，因而在上为增函数,在上为减函数， ……4分

（用重要不等式确定p值的参照给分）

17．(1)一次摸奖从个球中任取两个，有种方法。它们是等可能的，其中两个球的颜色不同的方法有种，一次摸奖中奖的概率        ……2分