Question

6．如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，E为BC分中点，EF⊥AE交AB于F，CM平分∠ACB交AE于M，求证：AM=2EF．

Answer 1

分析 作CD⊥AE，交AB于D，根据角平分线的定义得到∠ACM=45°，由等腰直角三角形的性质得到∠CBD=45°，于是得到∠ACM=∠CBD，根据余角的性质得到∠CAM=90°-∠ACD=∠ACB-∠ACD=∠DCB，推出△CAM≌△DCB，根据全等三角形的性质得到AM=CD，证得CD∥EF，得到△BCD～△BEF，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：作CD⊥AE，交AB于D，
∵CM平分∠ACB，
∴∠ACM=45°，
∵△ACB是等腰直角△，
∴∠CBD=45°，
∴∠ACM=∠CBD，
∵CD⊥AE，
∴∠CAM=90°-∠ACD=∠ACB-∠ACD=∠DCB，在△ACM与△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAM=∠BCD}\\{AC=BC}\\{∠ACM=∠B}\end{array}\right.$，
∴△CAM≌△DCB，
∴AM=CD，
又∵CD⊥AE，EF⊥AE，
∴CD∥EF，
∴△BCD～△BEF，
∴CD：EF=BE：BC=2，
即：CD=2EF，
∴AM=2EF．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．