Question

如图，在Rt△ABC中，AD⊥BC，已知△ACD的周长为32，△ABD的周长为24，则△ABC的周长为（　　）

• A、50
• B、48
• C、44
• D、40

Answer 1

分析：在Rt△ABC中，AD⊥BC，易证得△ABD、△CAD、△CBA都相似．根据△ACD和△ABD的周长，可求出两三角形的相似比，也就求出了AB、AC的比例关系，可设未知数，分别表示出AB、AC、BC的长，进而可表示出AD、BD的长；然后可在△ABD中，根据△ABD的周长求出未知数的值，也就求出了AB、AC、BC的长，由此可求出△ABC的周长．

解答：解：∵在Rt△ABC中，AD⊥BC
∴∠CAB=∠CDA=90°，∠C=∠C
∴△ABC∽△DAC
同理得：△ABC∽△DBA
∴△ABC∽△DBA∽△DAC
∴

AB

BD

=

BC

AB

∵△ACD的周长为32，△ABD的周长为24
∴

△ABD的周长

△ACD的周长

=

24

32

=

3

4

=

AB

AC

∴设AB=3x，AC=4x
∴BC=5x，
∴

3x

BD

=

5x

3x

∴BD=

9x

5

∵AD²+BD²=AB²，∴AD=

12x

5

∴3x+

9x

5

+

12x

5

=24，∴x=

10

3

∴△ABC的周长为5x+4x+3x=12x=40．
故本题选D．

点评：此题考查了三角形的判定与性质、直角三角形的性质、方程思想等知识，综合性较强；解题时要细心求解．