Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），交y轴正半轴于点C，OC＝4OA，S△ABC＝24．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P为第一象限抛物线上一点，过点P作PD⊥AB于点D，连接AP交y轴于点E，过点E作EG⊥PD于点G，设点P的横坐标为t（t≤1），PG的长度为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，过点B作BF⊥EG交EG的延长线于点F，点Q在线段GF上，连接DQ、PQ，将△DGQ沿DQ折叠后，点G的对称点为点H，DH交BF于点M，连接MQ并延长交DP的延长线于点N，当∠DQM＝45°，tan∠PQN＝时，求直线PQ的解析式．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+8；（2）d＝﹣t2+4t；（3）y＝﹣x+．

【解析】

(1)根据所告诉的两个等量关系求出A、C坐标，再将坐标代入解析式即可求出b、c的值．

(2)用t表示相关的竖直线段与水平线段，再根据△PEGPAD列出比例等式化简整理即可得到d与t关系式．

(3)先证明△QFM≌△MHQ．然后作MK⊥QM交DQ于K，过点K作SR⊥FB于R交GD于S，易得△QFM≌△MRK，可以推出R是BF中点，进而得SK=BF=GQ，tan∠N=tan∠QMF=，作PT⊥QN于T，结合tan∠PQN=可以导出，得到PG=4﹣t，而由(2)中结论可知PG=﹣t2+4t，于是建立方程解出t的值，P、Q坐标也就是自然得出，最后待定系数法确定PQ解析式．

(1)设OA=m，则OC=4OA=4m，

∵B(4，0)，所以OB=4，

∴AB=OA+OB=4+m，

∴S△ABC=ABOC=2m(4+m)=24，

解得：m=2，

∴A(﹣2，0)，C(0，8)，

将A、C两点坐标代入y=﹣x2+bx+c得：

，

解得b=2，c=8，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+8；

(2) ∵EG⊥PD，PD⊥AB，∠EOD=90°，

∴四边形ODGE为矩形，

∴EG=OD，

∵P为抛物线上一点，且横坐标为t，

∴P(t，﹣t2+2t+8)，

∴PD=﹣t22t+8，OD=t，

∵A(﹣2，0)，

∴AD=t+2，

∵EG⊥PD，

∴△PEGPAD，且EG=OD=t，

∴，

所以，

所以d=﹣t2+4t；

(3)∵PG=d=﹣t2+4t，PD=﹣t2+2t+8，

∴GD=PD﹣PG=8﹣2t，

∴OE=BF=GD=8﹣2t，

设∠QMF=α，则∠MQF=90°﹣α，

∵∠DQM=45°，

∴∠GQD=180°﹣∠DQM﹣∠MQF=45°+α，

∴∠DQH=∠GQD=45°+α，

∴∠HQM=∠DQH﹣∠DQM=α，

根据折叠的性质∠H=∠QGD=90=∠F，

∴Rt△QFM≌Rt△MHQ，

∴QH=MF，MH=QF，

如图，作MK⊥QM交DQ于K，过点K作SR⊥FB于R交GD于S，

则∠KRM=∠KMQ=∠QFM=90°，

∵∠DQM=45°，

∴∠MKQ=45°=∠MQK，

∴QM=KM，

∵∠QMF+∠KMR=∠KMR+∠MKR=90°，

∴∠QMF=∠MKR，

∴Rt△QFM≌Rt△MRK，

∴KR=MF，MR=QF，

设QF=m，则MR=QF=m，

∴GQ=QH=FM=EF﹣EG﹣QF=4﹣t﹣m，

∴FR=FM+MR=4﹣t﹣m+m=4﹣t=BF，

∵BF=GD=8﹣2t，

∴FR=BF，

∴R为BF中点，

∴SK=GQ，

∵SK=SR﹣KR=GF﹣GQ=QF，

∴QF=FM，

∴tan∠QMF=tanα=，

作PT⊥NQ于T，则tan∠N==tanα=，

∴NT=2PT，

∵tan∠PQN=，

∴QT=8PT，

设PT=n，则NT=2n，QT=8n，QN=10n，PN==n，

∵=tan∠N=，

∴NG=2QG，

∵，即，

∴，NG=2QG=4n，

∴PG=NG﹣PN=3n，

∴=，

∵GQ=2SK=2QF=2m，

∴，

∴PG=GF=4﹣t，

又∵PG=﹣t2+4t，

∴﹣t2+4t=4﹣t，

∴t2﹣5t+4=0，解得t=1或t=5(舍)，

∴P(1，9)，Q(3，6)，

设直线PQ的解析式为，

则，

解得：，

∴PQ的解析式为y=﹣x+．