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    如图，在平面直角坐标系中，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线，y=x2+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）点E是Rt△ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；
    （3）若在抛物线的对称轴上恰好存在唯一的点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；请确定此时点E的坐标．
    考点：二次函数综合题
    专题：
    分析：（1）先根据OA=1，OC=4，得到点A坐标为（-1，0），点B坐标为（4，5），再根据待定系数法得到抛物线的解析式；
    （2）根据待定系数法得到直线AB的解析式，设点E（t，t+1）．则F（t，t2-2t-3），-1＜t＜4，根据两点间的距离公式得到EF=-（t-
    3
    2
    ）2+
    25
    4
    ，从而得到线段EF的长度最大时点E的坐标；
    （3）分两种情况：①当1＜t＜4时；②当-1＜t＜1时；进行讨论可得点E的坐标．
    解答：解：（1）∵OA=1，OC=4，
    ∴点A坐标为（-1，0），点B坐标为（4，5），
    将点A坐标和点B坐标代入抛物线的解析式，可得
    1-b+c=0
    16+4b+c=5
    ，
    解得
    b=-2
    c=-3
    ．
    故抛物线的解析式为y=x2-2x-3．

    （2）∵直线AB经过点A（-1，0），B（4，5），
    ∴直线AB的解析式为y=x+1．
    设点E（t，t+1）．则F（t，t2-2t-3），-1＜t＜4，
    ∴EF=（t+1）-（t2-2t-3）=-t2+3t+4=-（t-
    3
    2
    ）2+
    25
    4
    ，
    ∴当t=
    3
    2
    时，EF的最大值为
    25
    4
    ．
    ∴点E的坐标为（
    3
    2
    ，
    5
    2
    ）．

    （3）若在抛物线的对称轴上恰好存在唯一的点P．使△EFP是以EF为直角边的直角三角形．则以EF为直径的圆必与抛物线的对称轴相切．
    ①当1＜t＜4时，

    t-1=
    -t2+3t+4
    2
    ，
    解得t=3．
    此时点E的坐标为（3，2）．
    ②当-1＜t＜1时

    1-t=
    -t2+3t+4
    2
    ，
    解得t=
    5-
    		33
    2
    ，
    此时点E的坐标为（
    5-
    		33
    2
    ，
    7-
    		33
    2
    ）．
    综上，点E的坐标为（3，4）和（
    5-
    		33
    2
    ，
    7-
    		33
    2
    ）．
    点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，两点间的距离公式，函数最值问题，分类思想的应用，综合性较强，有一定的难度．
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    下列运算正确的是（　　）
    A、x6•x3=x18
    B、（-x2）3=x6
    C、x6÷x5=x（x≠0）
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    已知抛物线与x轴交于A（-3，0）、B（1，0）两点，交y轴于点C（0，-3），点E为直线AC上的一动点，DE∥y轴交抛物线于点D．
    （1）求抛物线y=ax2+bx+c的表达式；
    （2）当点E的坐标为（-2，-1），连接AD，点P在x轴上，使△APC与△ADC相似，请求出点P的坐标；
    （3）当点E在直线AC上运动时，是否存在以D、E、O、C为顶点，OC为一边的平行四边形？若存在请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

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    1
    3
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    分解因式：
    （1）x3-2x2+x．
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    已知抛物线y=ax2+bx+x（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B（x1，0），抛物线的顶点为P．
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    （Ⅱ）设点P（-1，k），k＞0，点Q是y轴上的一个动点，当QB+QP的最小值等于5时，求抛物线的解析式和Q点的坐标；
    （Ⅲ）若抛物线经过点M（m，-a），a＞0，求x1的取值范围．

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    如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，顶点A，C，D均在坐标系轴上，且点A的坐标为（-2，0），点D的坐标为（3，0）．过点A，C，D的抛物线为y1=ax2+bx+c，
    （1）求抛物线y1=ax2+bx+c的函数表达式；
    （2）直线AB的表达式为y2=mx+n，且AB与y1的另一个交点为E，求当y1＜y2时，自变量x的取值范围；
    （3）抛物线y1=ax2+bx+c的顶点为Q，在直线AE的下方，点P为抛物线上的一个动点，当S△AQE=S△APE时，求点P的坐标．

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