Question

【题目】如图，点A,B在直线1上,AB = 20cm,∠BAC= 120°.

(1)点P从A出发，沿射线AB以每秒2cm的速度向右运动，同时点Q从B出发,沿射线BA以每秒lcm的速度向左运动,求点P出发多少秒时与点Q重合?

(2)在(1)的条件下，求点P出发多少秒时与点Q相距5cm?

(3)点M为射线AC上一点,AM = 4cm,现将射线AC绕点A以每秒30°的速度顺时针旋转一周后停止，同时点N从点B出发沿直线AB向左运动，在这一运动过程中，是否存在某一时刻，使得点N为BM的中点?若存在，求出点N运动的速度:若不存在,请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）点P出发秒时与点Q重合；（2）点P出发5秒或秒时与点Q相距5cm；（3）存在，点N运动的速度为2cm/s或1.2cm/s.

【解析】

（1）设点P出发x秒时与点Q重合，根据题意列出方程并解方程即可；

（2）设点P出发t秒时与点Q相距5cm，根据点P、Q是否相遇分类讨论，分别根据图形列出方程，求出t即可；

（3）根据点M与点A的相对位置分类讨论：①当点M旋转至点A的右侧时，此时M的对应点为M1，N为BM1的中点，先求出此时N行驶的路程BN，再求出N行驶的时间，即可求出N的速度；②当点M旋转至点A的左侧时，此时M的对应点为M2，N为BM2的中点，原理同上.

解：（1）设点P出发x秒时与点Q重合，

根据题意可知：AP=2x，BQ=x，

∴2x＋x=20

解得：x=

答：点P出发秒时与点Q重合.

（2）设点P出发t秒时与点Q相距5cm

①若P、Q未相遇时，如下图所示

∴AP=2t，PQ=5，BQ= t，

∴2t＋5＋t =20

解得：t =5；

②若P、Q已相遇，如下图所示

∴AP=2t，PQ=5，BQ= t，

∴2t－5＋t =20

解得：t =

综上所述：t=5或.

答：点P出发5秒或秒时与点Q相距5cm.

（3）存在，

①当点M旋转至点A的右侧时，此时M的对应点为M1，N为BM1的中点

∴AM1=AM=4cm，

∴BM1=AB－AM1=16cm

∵N为BM1的中点

∴N行驶的路程BN= BM1=8cm

∵∠BAC= 120°，射线AC绕点A以每秒30°的速度顺时针旋转，同时点N从点B出发沿直线AB向左运动，

∴N行驶的时间=射线AC旋转的时间=120÷30=4s

∴N的速度为：8÷4=2cm/s

②当点M旋转至点A的左侧时，此时M的对应点为M2，N为BM2的中点

∴AM2=AM=4cm，

∴BM2=AB+AM2=24cm

∵N为BM2的中点

∴N行驶的路程BN= BM2=12cm

∵∠BAC= 120°，射线AC绕点A以每秒30°的速度顺时针旋转，同时点N从点B出发沿直线AB向左运动，

∴射线AC旋转的角度为：120°＋180°=300°，N行驶的时间=射线AC旋转的时间=300÷30=10s

∴N的速度为：12÷10=1.2cm/s

综上所述：点N运动的速度为2cm/s或1.2cm/s.