Question

已知：如图，直线PA交⊙O于A、E两点，PA的垂线DC切⊙O于点C，过A点作⊙O的直径AB．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若DC=4，DA=2，求⊙O的直径．

Answer 1

分析：（1）由弦切角定理知，∠DCA=∠B，故Rt△ADC∽Rt△ACB，则有∠DAC=∠CAB；
（2）由勾股定理求得AC的值后，由（1）中Rt△ADC∽Rt△ACB得

AB

AC

=

AC

AD

，即可求得AB的值．

解答：（1）证明：方法一：连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵DC切⊙O于C点，
∴∠DCA=∠B，
∵DC⊥PE，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴∠DAC=∠CAB，即AC平分∠DAB；
方法二：连接CO，
因为DC与⊙O相切，
所以DC⊥CO，
又因为PA⊥CD，
所以CO∥PE，
所以∠ACO=∠CAO=∠CAD，即AC平分∠DAB
（2）解：在Rt△ADC中，AD=2，DC=4，
∴AC=

AD2+DC2

=2

5

，
由（1）得Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴

AB

AC

=

AC

AD

，
即AB=

AC2

AD

=

20

2

=10，
∴⊙O的直径为10．

点评：本题的解法不唯一，可利用弦切角定理，直径对的圆周角是直角，切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理求解．