Question

如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：
①AD=BE；
②PQ∥AE；
③EQ=DP；
④∠AOB=60°；
⑤当C为AE中点时，S_△BPQ：S_△CDE=1：3．其中恒成立的结论有（　　）

A．①②④

B．①②③④

C．①②③⑤

D．①②④⑤

Answer 1

分析：根据等边三角形性质得出AB=BC=AC，DC=CE=DE，∠BCA=∠DCE=∠EDC=∠DEC=60°，推出∠ACD=∠BCE，根据SAS证△ACD≌△BCE，即可推出①；根据ASA证△DPC≌△EQC，推出CP=CQ，证三角形CPQ是等边三角形，即可推出②③；根据等边三角形性质和平角定义即可判断④求出P、Q分别是BC和BE中点，推出△BPQ的面积等于△BCE面积的

1

4

，推出△BCE和△CDE的面积相等，即可判断⑤．

解答：解：∵等边△ABC和等边△DCE，
∴BC=AC，DE=DC=CE，∠DEC=∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中

AC=BC ∠ACD=∠BCE DC=CE

，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠CBE=∠DAC，AD=BE，∴①正确；
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∵等边△DCE，
∠EDC=60°=∠BCD，
∴BC∥DE，
∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，∴④正确；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
在△DPC和△EQC中

∠CDA=∠CEB CD=CE ∠DCP=∠ECD

，
∴△DPC≌△EQC，
∴EQ=DP，∴③正确；
CP=CQ，
∵∠BCD=60°，
∴△CPQ是等边三角形，
∴∠PQC=60°=∠DCE，
∴PQ∥AE，∴②正确；
∵当C为AE中点时，
∵∠BCA=∠DEC=60°，
∴P是AD中点，
∴CP=

1

2

DE=

1

2

AB，
即P是BC中点，
同理Q是BE的中点，也是DC中点，
即PQ是△BCE的中位线，
∵PQ∥AC，
∴△BPQ∽△BCE，
∴

S△BPQ

S△BCE

=

1

4

，
∵当C为AE中点，等边△ABC和等边△DCE，
∴BD∥AE，
即△DCE的边CE上的高和△BCE的边CE上的高相等，
∴△DEC的面积等于△BCE的面积，
∴S_△BPQ：S_△CDE=1：4，∴⑤错误．
正确的有①②③④．
故选B．

点评：本题综合考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点的运用，主要考查学生运用这些定理进行推理的能力，本题综合性比较强，有一定的难度，但题型比较好，有一定的代表性．